Lời giải:
\(P=\sum [(a+1)-\frac{b^2(a+1)}{b^2+1}]=\sum a+3-\sum \frac{b^2(a+1)}{b^2+1}=6-\sum \frac{b^2(a+1)}{b^2+1}\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\sum \frac{b^2(a+1)}{b^2+1}\leq \sum \frac{b^2(a+1)}{2b}=\sum \frac{b(a+1)}{2}=\frac{\sum a+\sum ab}{2}\leq \frac{\sum a+\frac{(\sum a)^2}{3}}{2}=\frac{3+3}{2}=3\)
Do đó: $P\geq 6-3=3$
Vậy $P_{\min}=3$. Giá trị này đạt được tại $a=b=c=1$
1 . Cho các số thực a, b, c dương thỏa mãn
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le3\)
Tính giá trị lớn nhất của biể thức: \(P=\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{b^2-bc+3c^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{c^2-ac+3a^2+1}}\)
2 .
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\le1\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ac+a^2}\)
Cho a;b;c khác 0 , thỏa mãn \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=1\).Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = \(\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)\)
cho a,b,c>0 sao cho a+b+c=3.tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=\(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\)
1 . Cho a,b,c > 0 chứng minh rằng : \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1\)
2 . Cho x , y , z > 0 thỏa mãn : \(x+y+z=2\)
Tìm GTNN của \(P=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\)
3 . Cho các sô dương a , b , c biết \(\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\le1\)
4 . Tim giá trị nhỏ nhất của biểu thức : \(P=a^2+b^2+c^2+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}\)
cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b<_c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức\(P=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)
Cho 3 số dương a, b, c thay đổi thỏa mãn: \(a^2+b^2+c^2=3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=2.\left(a+b+c\right)+\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
Cho 3 số dương a, b, c thay đổi thỏa mãn: \(a^2+b^2+c^2=3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=2.\left(a+b+c\right)+\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn 0≤a≤b≤c≤1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=\left(a+b+c+3\right)\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\right)\)
Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn \(a+b\le c\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)
