Question

Cho a,b,c>0. CMR:

\(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\)>=a+b+c

Answer 1

Bài này áp dụng BĐT Cauchy (Cô-si) cho 2 số.

Ta có: a^2/b + b >= 2.căn[(a^2/b).b] = 2.căn(a^2) = 2|a| >= 2a
Tương tự, b^2/c + c >= 2|b| >= 2b
................c^2/a + a >= 2|c| >= 2c

Cộng vế với vế, ta được:
a^2/b + b^2/c + c^2/a + a + b + c >= 2a + 2b + 2c
<=> a^2/b + b^2/c + c^2/a >= a + b + c (điều phải chứng minh)

Answer 2

Xét : \(\dfrac{a^2}{b}+b=\dfrac{a^2+b^2}{b}\ge\dfrac{2ab}{b}=2a\)

^{\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{b}+b\ge2a\)}

^{Tương tự ta có : \(\dfrac{b^2}{c}+c\ge2a;\dfrac{c^2}{a}+a\ge2c\)}

Cộng theo vế cac BPT trên :

\(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge a+b+c\)