Đại số lớp 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Lê Phương Oanh

Bài tập 1:

Cho x,y > 0. Chứng minh rằng: ( 3x+3y )(\(\dfrac{1}{2x+y}+\dfrac{1}{x+2y}\)) ≥4

Bài tập 2: Cho a,b,c> 0. Chứng minh rằng:

a) \(\dfrac{1}{2a+b+c}+\dfrac{1}{a+2b+c}+\dfrac{1}{a+b+2c}\)\(\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)

b) \(\dfrac{a}{1+a^2}+\dfrac{b}{1+b^2}+\dfrac{c}{1+c^2}\)\(\dfrac{3}{2}\)

Kuro Kazuya
25 tháng 3 2017 lúc 0:26

2a)

Áp dụng bất đẳng thức \(\dfrac{1}{a+b}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\forall a,b>0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{2a+b+c}=\dfrac{1}{a+b+a+c}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}\right)\\\dfrac{1}{a+2b+c}=\dfrac{1}{a+b+b+c}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}\right)\\\dfrac{1}{a+b+2c}=\dfrac{1}{a+c+b+c}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow VT\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+b}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}\right)\)

\(\Rightarrow VT\le\dfrac{1}{4\left(a+b\right)}+\dfrac{1}{4\left(a+c\right)}+\dfrac{1}{4\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{4\left(a+b\right)}+\dfrac{1}{4\left(a+c\right)}+\dfrac{1}{4\left(b+c\right)}\)

\(\Rightarrow VT\le\dfrac{1}{2\left(a+b\right)}+\dfrac{1}{2\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{2\left(c+a\right)}\)

Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{2\left(a+b\right)}+\dfrac{1}{2\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{2\left(c+a\right)}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức \(\dfrac{1}{a+b}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\forall a,b>0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{a+b}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\\\dfrac{1}{b+c}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\\\dfrac{1}{c+a}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\) ( đpcm )

\(\dfrac{1}{2\left(a+b\right)}+\dfrac{1}{2\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{2\left(c+a\right)}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)

\(VT\le\dfrac{1}{2\left(a+b\right)}+\dfrac{1}{2\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{2\left(c+a\right)}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2a+b+c}+\dfrac{1}{a+2b+c}+\dfrac{1}{a+b+2c}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)( đpcm )

Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c\)

2b)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1+a^2\ge2\sqrt{a^2}=2a\\1+b^2\ge2\sqrt{b^2}=2b\\1+c^2\ge2\sqrt{c^2}=2c\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{1+a^2}\le\dfrac{a}{2a}=\dfrac{1}{2}\\\dfrac{b}{1+b^2}\le\dfrac{b}{2b}=\dfrac{1}{2}\\\dfrac{c}{1+c^2}\le\dfrac{c}{2c}=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{1+a^2}+\dfrac{b}{1+b^2}+\dfrac{c}{1+c^2}\le\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\) ( đpcm )

Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Phan Cả Phát
24 tháng 3 2017 lúc 21:20

Bài 1)

Nháp : nhìn nhanh ta thấy nên áp dụng BĐT \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)

Giải

Vì x,y > 0 =) 2x + y > 0 , x + 2y > 0

Áp dụng BĐT cauchy dạng phân thức cho hai bộ số không âm \(\dfrac{1}{2x+y}\)\(\dfrac{1}{x+2y}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{x+2y}+\dfrac{1}{2x+y}\ge\dfrac{4}{x+2y+2x+y}=\dfrac{4}{3\left(x+y\right)}\)

\(\Rightarrow\left(3x+3y\right)\left(\dfrac{1}{2x+y}+\dfrac{1}{x+2y}\right)\ge\left(3x+3y\right).\dfrac{4}{3\left(x+y\right)}=4\)

Dấu '' = "xảy ra khi và chỉ khi x + 2y = y + 2x (=) x=y

Phan Thế Nghĩa
12 tháng 5 2017 lúc 19:54

ta có:

\(1+a^2\ge2\sqrt{a^2.1}=2a\Rightarrow\dfrac{a}{1+a^2}\le\dfrac{a}{2a}=\dfrac{1}{2}\)

tương tự, ta có: \(\dfrac{b}{b^2+1}\le\dfrac{1}{2}\); \(\dfrac{c}{c^2+1}\le\dfrac{1}{2}\)

công từ vế với nhau, ta có điều cần phải chứng minh


Các câu hỏi tương tự
Trần Băng Băng
Xem chi tiết
Trần Băng Băng
Xem chi tiết
Trần Băng Băng
Xem chi tiết
Nguyệt Trần
Xem chi tiết
Nguyệt Trần
Xem chi tiết
Trần Băng Băng
Xem chi tiết
Đỗ Thanh Huyền
Xem chi tiết
Pé Bình
Xem chi tiết
Trân Vũ
Xem chi tiết