Theo BĐT AM-GM :
\(a^5+\frac{1}{a}+1+1\ge4\sqrt[4]{a^5\cdot\frac{1}{a}\cdot1\cdot1}=4a\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a^5=\frac{1}{a}=1\Leftrightarrow a=1\)
+ Tương tự :
\(b^5+\frac{1}{b}+1+1\ge4b\) Dấu "=" <=> b = 1
\(c^5+\frac{1}{c}+1+1\ge4c\) Dấu "=" <=> c = 1
Do đó : \(a^5+b^5+c^5+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+6\ge4\left(a+b+c\right)\)
=> đpcm
Dấu "=" <=> a = b = c = 1
Cho a, b, c >0 thỏa mãn a+b+c =3
Chứng minh rằng: ( a/ 1+b^2) + (b/ 1+ c^2) + ( c/ 1+a^2) lớn hơn hoặc bằng 3/2
Cho a,b,c >0, a+b+c=3
Chứng minh: N =(3+a2/b+c) + (3+b2/c+a)+ (3+ c2/a+b) lớn hơn hoặc bằng 6
Cho a,b,c > 0 và a+b+c <1. Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{a^2+2ab}+\dfrac{1}{b^2+2ac}+\dfrac{1}{c^2+2ab}\ge9\)
Cho \(a,b,c\ge0\) và a + b + c = 1. Chứng minh :
a) \(\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}< 3,5\)
b) \(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c}\le\sqrt{6}\)
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=6. Chứng minh rằng:
\(\dfrac{b+c+5}{1+a}+\dfrac{c+a+4}{2+b}+\dfrac{a+b+3}{3+c}\ge6\). Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
a) Cho a,b>0 chứng minh a\(^3\)+b\(^3\)\(\ge\)ab(a+b)
b) Cho a,b,c>0 thỏa mã abc=1 chứng minh \(\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\le1\)
Chứng minh rằng: Nếu a , b, c > 0 thì : \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{b+a}\ge\dfrac{3}{2}\)
cho a,b,c khác 0 thỏa \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\) chứng minh rằng \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\)
