Question

Cho a,b,c >0, a+b+c=3

Chứng minh: N =(3+a²/b+c) + (3+b²/c+a)+ (3+ c²/a+b) lớn hơn hoặc bằng 6

Answer 1

\(N=\frac{3+a^2}{3-a}+\frac{3+b^2}{3-b}+\frac{3+c^2}{3-c}\)

Ta chứng minh \(\frac{3+a^2}{3-a}\ge2a\) với mọi \(0< a< 3\), thật vậy:

\(\Leftrightarrow3+a^2-2a\left(3-a\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow3\left(a-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Tương tự ta có: \(\frac{3+b^2}{3-b}\ge2b\); \(\frac{3+c^2}{3-c}\ge2c\)

Cộng vế với vế: \(\Leftrightarrow N\ge2\left(a+b+c\right)=6\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)