a) Xét ΔABH và ΔCAH có
\(\widehat{AHB}=\widehat{CHA}\left(=90^0\right)\)
\(\widehat{ABH}=\widehat{CAH}\)(cùng phụ với \(\widehat{BAH}\))
Do đó: ΔABH∼ΔCAH(g-g)
b) Ta có: ΔABH∼ΔCAH(cmt)
⇒\(\frac{AB}{CA}=\frac{BH}{AH}\)(1)
Ta có: \(AM=\frac{AH}{2}\)(M là trung điểm của AH)
\(BN=\frac{BH}{2}\)(N là trung điểm của BH)
Do đó: \(\frac{BN}{AM}=\frac{\frac{BH}{2}}{\frac{AH}{2}}=\frac{BH}{2}\cdot\frac{2}{AH}=\frac{BH}{AH}\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{AB}{CA}=\frac{BN}{AM}\)
Xét ΔABN và ΔCAM có
\(\frac{AB}{CA}=\frac{BN}{AM}\)(cmt)
\(\widehat{ABN}=\widehat{CAM}\)(cùng phụ với \(\widehat{HAB}\))
Do đó: ΔABN∼ΔCAM(c-g-c)
c) Xét ΔHAB có
M là trung điểm của AH(gt)
N là trung điểm của BH(gt)
Do đó: NM là đường trung bình của ΔHAB(định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒NM//AB và \(NM=\frac{AB}{2}\)(định lí 2 đường trung bình của tam giác)
Ta có: NM//AB(cmt)
AB⊥AC(ΔABC vuông tại A)
Do đó: NM⊥AC(định lí 2 từ vuông góc tới song song)
Xét ΔANC có
AH là đường cao ứng với cạnh CN(AH⊥BC, N∈BC)
NM là đường cao ứng với cạnh AC(NM⊥AC)
AH\(\cap\)NM={M}
Do đó: M là trực tâm của ΔANC(tính chất trọng tâm của tam giác)
⇒CM⊥AN(đpcm)
