Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Bùi Đức Anh

Cho a.b,c là số hữu tỉ t/m abc=1 và \(\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{c}{a^2}=\dfrac{a^2}{c}+\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{b}\).

C/m ít nhẩ một trong 3 số a,b,c là bình phương của một số hữu tỉ.

Hồng Phúc
18 tháng 12 2020 lúc 20:57

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{b^2}=x\\\dfrac{b}{c^2}=y\\\dfrac{c}{a^2}=z\end{matrix}\right.\Rightarrow xyz=1;x+y+z=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\)

Ta có \(x+y+z=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\)

\(\Leftrightarrow x+y+z=xy+yz+zx\)

\(\Leftrightarrow xyz-1+x+y+z-xy-yz-zx=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(z-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(z-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\y=1\\z=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{a}{b^2}=1\\\dfrac{b}{c^2}=1\\\dfrac{c}{a^2}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b^2\\b=c^2\\c=a^2\end{matrix}\right.\left(đpcm\right)\)


Các câu hỏi tương tự
Tiểu Bảo Bảo
Xem chi tiết
Gia An Ho
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Quân Lê
Xem chi tiết
trần thị trâm anh
Xem chi tiết
Nguyễn  Phạm Hoàng trang
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Hằng
Xem chi tiết
Hoai Bao Tran
Xem chi tiết
Phạm
Xem chi tiết