Question

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3. CMR:

4(a² + b² + c²) - (a³ + b³ + c³) \(\ge9\)

Answer 1

Lời giải:

Ta có:

\(\text{VT}=a^2+b^2+c^2+(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)-(a^3+b^3+c^3)\)

\(\Leftrightarrow \text{VT}=a^2+b^2+c^2+ab(a+b)+bc(b+c)+ac(c+a)\)

\(\Leftrightarrow \text{VT}=a^2+b^2+c^2+(a+b+c)(ab+bc+ac)-3abc\)

\(\Leftrightarrow \text{VT}=(a+b+c)^2+(ab+bc+ac)-3abc\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(3(ab+bc+ac)=(a=b+c)(ab+bc+ac)\geq 9abc\Rightarrow ab+bc+ac\geq 3abc\)

Do đó \(\text{VT}\geq (a+b+c)^2=9\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)