Question

tam giác ABC có 3 cạnh a,b,c

a) a²+b²+c²< 2(ab+bc+ca)

b) abc\(\ge\)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)

Answer 1

a.

Theo BĐT tam giác: \(c< a+b\Rightarrow c^2< ac+bc\)

\(b< a+c\Rightarrow b^2< ab+bc\) ; \(a< b+c\Rightarrow a^2< ab+ac\)

Cộng vế với vế: \(a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\)

b.

Do a;b;c là 3 cạnh của tam giác nên: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b-c>0\\b+c-a>0\\c+a-b>0\end{matrix}\right.\)

\(\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\le\dfrac{1}{4}\left(a+b-c+b+c-a\right)^2=b^2\)

Tương tự: \(\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\le c^2\) ; \(\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\le a^2\)

Nhân vế với vế:

\(\left(abc\right)^2\ge\left[\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\right]^2\)

\(\Leftrightarrow abc\ge\left(a+b-c\right)\left(c+a-b\right)\left(b+c-a\right)\)