Violympic toán 8

OoO Min min OoO

Cho a,b,c là các số nguyên dương đôi một khác nhau. Cmr: (a-b)5+(b-c)5+(c-a)5 chia hết cho 5(a-b)(b-c)(c-a)

Akai Haruma
4 tháng 7 2018 lúc 15:30

Lời giải:

Đặt \((a-b,b-c,c-a)=(x,y,z)\)\(\Rightarrow x+y+z=0\).

Ta cần cm:

\(x^5+y^5+z^5\vdots 5xyz\) với \(x,y,z\neq 0\in\mathbb{Z}\)

Thật vậy:

\(x^5+y^5+z^5=(x+y)(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4)+z^5\)

\(=(x+y)[x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4-5x^3y-5xy^3-5x^2y^2]+z^5\)

\(=(x+y)[(x+y)^4-5xy(x^2+y^2+xy)]+z^5\)

\(=(x+y)^5-5xy(x+y)(x^2+xy+y^2)+z^5\)

\(=(-z)^5-5xy(-z)(x^2+y^2+xy)+z^5\)

\(=5xyz(x^2+y^2+xy)\vdots 5xyz\)

Do đó ta có đpcm.

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Trúc Giang
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Thảo Vũ
Xem chi tiết
Kamato Heiji
Xem chi tiết
Trần Thị Xuân Mai
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Nguyệt Ánh
Xem chi tiết
Funny Boy
Xem chi tiết
Nguyen Thi Bich Huong
Xem chi tiết