Lời giải:
Đặt \((a-b,b-c,c-a)=(x,y,z)\)\(\Rightarrow x+y+z=0\).
Ta cần cm:
\(x^5+y^5+z^5\vdots 5xyz\) với \(x,y,z\neq 0\in\mathbb{Z}\)
Thật vậy:
\(x^5+y^5+z^5=(x+y)(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4)+z^5\)
\(=(x+y)[x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4-5x^3y-5xy^3-5x^2y^2]+z^5\)
\(=(x+y)[(x+y)^4-5xy(x^2+y^2+xy)]+z^5\)
\(=(x+y)^5-5xy(x+y)(x^2+xy+y^2)+z^5\)
\(=(-z)^5-5xy(-z)(x^2+y^2+xy)+z^5\)
\(=5xyz(x^2+y^2+xy)\vdots 5xyz\)
Do đó ta có đpcm.
Đúng 0
Bình luận (0)
