Question

cho a,b,c là các số dươngg thỏa mãn \(ab+bc+ca\le3abc\) chứng minh rằng

\(\dfrac{a^4b}{2a+b}+\dfrac{b^4c}{2b+c}+\dfrac{c^4a}{2c+a}\ge1\)

Answer 1

Áp dụng BĐT cauchy-schwarz:

\(\sum\dfrac{a^4b}{2a+b}=\sum\dfrac{a^4b^2}{2ab+b^2}\ge\dfrac{\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}\)

giờ ta chỉ cần có:\(a^2b+b^2c+c^2a\ge a+b+c\)

Áp dụng AM-GM:

\(a^2b+\dfrac{1}{b}\ge2a\)..tương tự ,ta suy ra:

\(a^2b+b^2c+c^2a\ge2\left(a+b+c\right)-\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)(*)

Theo giả thiết: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\le3\)

Dễ dàng suy ra được \(a+b+c\ge3\) ( từ BĐT \(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge9\))

theo đó thì \(a+b+c\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)

Nên từ (*) ta có đpcm.

Dấu = xảy ra khi a=b=c=1