Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Unruly Kid

Cho a,b,c là 3 số dương có tích là 1. Chứng minh rằng:

\(\dfrac{\left(bc-a^2\right)\left(b-c\right)^2}{\left(a^2+c^2\right)\left(a^2+b^2\right)}+\dfrac{\left(ac-b^2\right)\left(c-a\right)^2}{\left(b^2+a^2\right)\left(b^2+c^2\right)}+\dfrac{\left(ab-c^2\right)\left(a-b\right)^2}{\left(c^2+a^2\right)\left(c^2+b^2\right)}+6\ge\dfrac{18}{a^2+b^2+c^2}\)

@Akai Haruma @Hung nguyen @Ace Legona @Phương An :v Tag mãi mà không được, ai ngang qua hộ đêy

Neet
26 tháng 11 2017 lúc 19:59

By AM-GM: \(3\le ab+bc+ca\)

Ta có: \(6-\dfrac{18}{a^2+b^2+c^2}=6.\left(1-\dfrac{3}{a^2+b^2+c^2}\right)=\dfrac{6\left(a^2+b^2+c^2-3\right)}{a^2+b^2+c^2}\ge\dfrac{6\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)}{a^2+b^2+c^2}=3\sum\dfrac{\left(a-b\right)^2}{a^2+b^2+c^2}\)

Giờ ta chỉ việc chứng minh

\(\sum\dfrac{\left(ab-c^2\right)\left(a-b\right)^2}{\left(a^2+c^2\right)\left(c^2+b^2\right)}+\sum\dfrac{3\left(a-b\right)^2}{a^2+b^2+c^2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sum\left(a-b\right)^2\left[\dfrac{ab\left(a^2+b^2+ab\right)+2\left(a^2+c^2\right)\left(b^2+c^2\right)}{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2+c^2\right)\left(b^2+c^2\right)}\right]\ge0\)(đúng)

Dấu = xảy ra khi a=b=c=1

Unruly Kid
26 tháng 11 2017 lúc 18:25
Nguyễn Huy Thắng
26 tháng 11 2017 lúc 20:50

t ko onl nữa đâu đừng có mà nhờ, nick chính do con gà khác onl rồi


Các câu hỏi tương tự
Neet
Xem chi tiết
Đinh Thuận
Xem chi tiết
Hong Ra On
Xem chi tiết
Neet
Xem chi tiết
ZoZ - Kudo vs Conan - Zo...
Xem chi tiết
Rimuru Tempest
Xem chi tiết
Quách Phú Đạt
Xem chi tiết
Sĩ Bí Ăn Võ
Xem chi tiết
noname
Xem chi tiết