Question

cho a,b,c khác 0 sao cho a^3.b^3 + a^3.c^3 = 3.a^2.b^2.c^2. Tính M= (1/a+b). (1/b+c). 1/c+a

Answer 1

Lời giải:

Đặt \((ab,bc,ac)=(x,y,z)\)

Theo bài ra ta có:

\(x^3+y^3+z^3=3xyz\Leftrightarrow x^2+y^3+z^3-3xyz=0\)

\(\Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)=0\)

TH1:

\(x+y+z=0\) \(\Leftrightarrow ab+bc+ac=0\)

\(\Rightarrow M=\frac{1}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{1}{(a+b+c)(ab+bc+ac)-abc}=\frac{-1}{abc}\)

TH2:

\(x^2+y^2+z^2=xy+yz+xz\)

Theo BĐT AM-GM ta luôn có \(x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+xz\)

Dấu bằng xảy ra khi

\(x=y=z\Leftrightarrow ab=bc=ac\Leftrightarrow a=b=c\)

Khi đó, \(M=\frac{1}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{1}{2a.2b.2c}=\frac{1}{8abc}\)