Question

cho a,b,c dương thỏa mãn abc=1 Cm

1/(a²+2b²+3)+1/(b²+2c²+3)+1/(c²+2a²+3)<=1/2

 

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng bđt AM-GM:

\(a^2+2b^2+3=(a^2+b^2)+(b^2+1)+2\geq 2(ab+b+1)\)

\(\Rightarrow \frac{1}{a^2+2b^2+3}\leq \frac{1}{2(ab+b+1)}\). Tương tự với các phân thức còn lại:

\(\Rightarrow 2\text{VT}\leq \frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=A\)

Dựa vào đk \(abc=1\) dễ thấy \(A=1\).

Cách CM:

\(A=\frac{c}{1+bc+c}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=\frac{c+1}{bc+c+1}+\frac{bc}{c+1+bc}=1\) (đpcm)

\(\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{1}{2}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)