Cho △ABC cân tại A.Trên tia đối của tia BC lấy điểm M. Trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho BM = CN.
a, Chứng minh △AMN là tam giác cân.
b, Kẻ BH vuông góc với AM (H ∈ AM), CK vuông góc với AN (K ∈ AN). Chứng minh rằng BH = CK.
c, Gọi O là giao điểm của BH và CK. Chứng minh △OBC cân.
d, Gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh rằng A, D, O thẳng hàng
a) Ta có: \(\widehat{ABM}+\widehat{ABC}=180^0\)(hai góc kề bù)
\(\widehat{ACN}+\widehat{ACB}=180^0\)(hai góc kề bù)
mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)
nên \(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)
Xét ΔABM và ΔACN có
AB=AC(ΔABC cân tại A)
\(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)(cmt)
BM=CN(gt)
Do đó: ΔABM=ΔACN(c-g-c)
⇒\(\widehat{AMB}=\widehat{ANC}\)(hai góc tương ứng)
hay \(\widehat{AMN}=\widehat{ANM}\)
Xét ΔAMN có \(\widehat{AMN}=\widehat{ANM}\)(cmt)
nên ΔAMN cân tại A(định lí đảo của tam giác cân)
b) Xét ΔHBM vuông tại H và ΔKCN vuông tại K có
BM=CN(gt)
\(\widehat{M}=\widehat{N}\)(cmt)
Do đó: ΔHBM=ΔKCN(cạnh huyền-góc nhọn)
⇒BH=CK(hai cạnh tương ứng)
c) Ta có: \(\widehat{HBM}=\widehat{CBO}\)(hai góc đối đỉnh)
\(\widehat{KCN}=\widehat{BCO}\)(hai góc đối đỉnh)
mà \(\widehat{HBM}=\widehat{KCN}\)(ΔHBM=ΔKCN)
nên \(\widehat{CBO}=\widehat{BCO}\)
Xét ΔOBC có \(\widehat{CBO}=\widehat{BCO}\)(cmt)
nên ΔOBC cân tại O(định lí đảo tam giác cân)
d) Ta có: AB=AC(ΔABC cân tại A)
⇒A nằm trên đường trung trực của BC(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)
Ta có: BD=CD(D là trung điểm của BC)
⇒D nằm trên đường trung trực của BC(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)
Ta có: OB=OC(ΔOBC cân tại O)
⇒O nằm trên đường trung trực của BC(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra A,D,O thẳng hàng
