Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M, trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho BM = CN.
a) Chứng minh rằng AM = AN.
b) Kẻ BH vuông góc với AM (H thuộc AM), kẻ CK vuông góc với AN (K thuộc AN). Chứng minh HM = KN;
c) Chứng minh △𝐵𝐻𝐴=△𝐶𝐾𝐴;
d) Gọi O là giao điểm của BH và CK. Hỏi △𝑂𝐵𝐶 là tam giác gì? Vì sao?
e) Khi 𝐴ˆ=60∘ và BM = CN = BC, hãy tính số đo các góc của tam giác AMN và cho biết OBC là tam giác gì.
f) Chứng minh rằng AO ⊥ BC.
a) Ta có: \(\widehat{ABC}+\widehat{ABM}=180^0\)(hai góc kề bù)
\(\widehat{ACB}+\widehat{ACN}=180^0\)(hai góc kề bù)
mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)
nên \(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)
Xét ΔABM và ΔACN có
AB=AC(ΔABC cân tại A)
\(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)(cmt)
BM=CN(gt)
Do đó: ΔABM=ΔACN(c-g-c)
⇒AM=AM(hai cạnh tương ứng)
b)Ta có: ΔABM=ΔACN(cmt)
⇒\(\widehat{AMB}=\widehat{ANC}\)(hai góc tương ứng)
hay \(\widehat{HMB}=\widehat{KNC}\)
Xét ΔHMB vuông tại H và ΔKNC vuông tại K có
BM=CN(gt)
\(\widehat{HMB}=\widehat{KNC}\)(cmt)
Do đó: ΔHMB=ΔKNC(cạnh huyền-góc nhọn)
⇒HM=KN(hai cạnh tương ứng)
c) Ta có: AH+HM=AM(do A,H,M thẳng hàng)
AK+KN=AN(do A,K,N thẳng hàng)
mà AM=AN(cmt)
và HM=KN(cmt)
nên AH=AK
Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAKC vuông tại K có
AB=AC(ΔABC cân tại A)
AH=AK(cmt)
Do đó: ΔAHB=ΔAKC(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
d)Ta có: \(\widehat{HBM}=\widehat{CBO}\)(hai góc đối đỉnh)
\(\widehat{KCN}=\widehat{BCO}\)(hai góc đối đỉnh)
mà \(\widehat{HBM}=\widehat{KCN}\)(ΔHMB=ΔKNC)
nên \(\widehat{CBO}=\widehat{BCO}\)
Xét ΔOBC có \(\widehat{CBO}=\widehat{BCO}\)(cmt)
nên ΔOBC cân tại O(định lí đảo của tam giác cân)
e) Xét ΔABC cân tại A có \(\widehat{A}=60^0\)(gt)
nên ΔABC đều(dấu hiệu nhận biết tam giác đều)
⇒\(\widehat{ABC}=\widehat{BAC}=\widehat{ACB}=60^0\) và AB=AC=BC(số đo của các góc và các cạnh trong ΔABC đều)
mà BM=CN=BC
nên MB=AB=BC=AC=CN
Xét ΔABM có AB=BM(cmt)
nên ΔABM cân tại B(định nghĩa tam giác cân)
Ta có: \(\widehat{ABM}+\widehat{ABC}=180^0\)(hai góc kề bù)
hay \(\widehat{ABM}=180^0-\widehat{ABC}=180^0-60^0=120^0\)
Ta có: ΔABM cân tại B(cmt)
⇒\(\widehat{AMB}=\frac{180^0-\widehat{ABM}}{2}\)(số đo của một góc ở đáy trong ΔABM cân tại B)
hay \(\widehat{AMB}=\frac{180^0-120^0}{2}=30^0\)
hay \(\widehat{AMN}=30^0\)
Xét ΔAMN có AM=AN(chứng minh câu a)
nên ΔAMN cân tại A(định nghĩa tam giác cân)
⇒\(\widehat{AMN}=\widehat{ANM}\)(hai góc ở đáy)
mà \(\widehat{AMN}=30^0\)(cmt)
nên \(\widehat{ANM}=30^0\)
Ta có: ΔAMN cân tại A(cmt)
⇒\(\widehat{MAN}=180^0-2\cdot\widehat{AMN}\)(số đo của góc ở đỉnh trong ΔAMN cân tại A)
hay \(\widehat{MAN}=180^0-2\cdot30^0=120^0\)
*Cho biết dạng của tam giác OBC
Ta có: ΔHBM vuông tại H(do BH⊥AM)
nên \(\widehat{M}+\widehat{HBM}=90^0\)(hai góc phụ nhau)
hay \(\widehat{HBM}=90^0-\widehat{M}=90^0-30^0=60^0\)
mà \(\widehat{HBM}=\widehat{CBO}\)(hai góc đối đỉnh)
nên \(\widehat{CBO}=60^0\)
Xét ΔOBC cân tại O có \(\widehat{CBO}=60^0\)(cmt)
nên ΔOBC đều(dấu hiệu nhận biết tam giác đều)
Vậy: khi \(\widehat{A}=60^0\) và BM=CN=BC thì số đo của các góc trong ΔAMN lần lượt là:
\(\widehat{AMN}=30^0\); \(\widehat{ANM}=30^0\); \(\widehat{MAN}=120^0\) và ΔOBC đều
f) Ta có: AB=AC(ΔABC cân tại A)
⇒A nằm trên đường trung trực của BC(t/c đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)
Ta có: OB=OC(ΔOBC cân tại O)
⇒O nằm trên đường trung trực của BC(t/c đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)
Từ (1) và (2) suy ra AO là đường trung trực của BC
⇒AO⊥BC(đpcm)
