Bài 1: Phương trình bậc nhất hai ẩn

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Hương Đoàn

Cho a,b,c >0 thoả mãn a+b+c=1. CM \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\ge30\)

HELP ME

Akai Haruma
22 tháng 2 2020 lúc 18:48

Lời giải:

Áp dụng hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM:

$3(ab+bc+ac)\leq (a+b+c)^2$

$1=a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\leq \frac{1}{27}$

Do đó:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{3ab}+\frac{1}{3bc}+\frac{1}{3ac}\geq \frac{(1+1+1+1)^2}{a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ac)}=\frac{16}{(a+b+c)^2+ab+bc+ac}\)

\(\geq \frac{16}{(a+b+c)^2+\frac{(a+b+c)^2}{3}}=\frac{12}{(a+b+c)^2}=12\)

\(\frac{2}{3ab}+\frac{2}{3bc}+\frac{2}{3ac}=\frac{2}{3}.\frac{a+b+c}{abc}=\frac{2}{3abc}\geq \frac{2}{3.\frac{1}{27}}=18\)

Cộng 2 BĐT trên lại:

\(\Rightarrow \frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\geq 12+18=30\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Khách vãng lai đã xóa
Akai Haruma
2 tháng 2 2020 lúc 20:04

Lời giải:

Áp dụng hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM:

$3(ab+bc+ac)\leq (a+b+c)^2$

$1=a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\leq \frac{1}{27}$

Do đó:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{3ab}+\frac{1}{3bc}+\frac{1}{3ac}\geq \frac{(1+1+1+1)^2}{a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ac)}=\frac{16}{(a+b+c)^2+ab+bc+ac}\)

\(\geq \frac{16}{(a+b+c)^2+\frac{(a+b+c)^2}{3}}=\frac{12}{(a+b+c)^2}=12\)

\(\frac{2}{3ab}+\frac{2}{3bc}+\frac{2}{3ac}=\frac{2}{3}.\frac{a+b+c}{abc}=\frac{2}{3abc}\geq \frac{2}{3.\frac{1}{27}}=18\)

Cộng 2 BĐT trên lại:

\(\Rightarrow \frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\geq 12+18=30\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Lưu Hương
Xem chi tiết
Đặng Thị Hông Nhung
Xem chi tiết
Minh Ngọc
Xem chi tiết
Kim So Hyun
Xem chi tiết
Nhàn Nguyễn
Xem chi tiết
Lê Thụy Sĩ
Xem chi tiết
Ly
Xem chi tiết
Lê Thụy Sĩ
Xem chi tiết
Vân Trần Thị
Xem chi tiết