Ta chứng minh BĐT này trước:
Với \(a;b>0\) và \(ab< 1\) thì \(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\le\frac{2}{1+ab}\)
Biến đổi tương đương:
\(\frac{a^2+b^2+2}{a^2b^2+a^2+b^2+1}\le\frac{2}{1+ab}\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+2+a^3b+ab^3+2ab\le2a^2b^2+2a^2+2b^2+2\)
\(\Leftrightarrow a^3b-2a^2b^2+ab^3-\left(a^2-2ab+b^2\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a-b\right)^2-\left(a-b\right)^2\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-1\right)\left(a-b\right)^2\le0\) (1)
Do \(ab< 1\Rightarrow ab-1< 0\Rightarrow\left(1\right)\) luôn đúng, vậy BĐT được chứng minh, dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b\)
Áp dụng vào bài toán:
Từ pt dưới ta có ĐKXĐ: \(0\le x;y\le\frac{1}{2}\Rightarrow xy< 1\)
\(\frac{1}{\sqrt{1+\left(\sqrt{2}x\right)^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+\left(\sqrt{2}y\right)^2}}\le\sqrt{2\left(\frac{1}{1+\left(\sqrt{2}x\right)^2}+\frac{1}{1+\left(\sqrt{2}y\right)^2}\right)}\le\sqrt{2\left(\frac{2}{1+\sqrt{2}x.\sqrt{2}y}\right)}=\frac{2}{\sqrt{1+2xy}}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y\)
Thay vào pt dưới:
\(\sqrt{x}+2\sqrt{x}+2\sqrt{1-2x}+\sqrt{1-2x}=\frac{3\sqrt{2}+1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{1-2x}=\frac{3\sqrt{2}+1}{6}\)
Nhìn con số bên vế phải ngán quá, chắc người ra đề nhầm lẫn gì ở đây nên cho 1 con số xấu như vậy, rất tiếc pt này ko thể đánh giá bằng BĐT nên phải giải theo kiểu bình phương thôi 2 vế, bạn tự giải tiếp, chỉ đơn giản là 1 pt bậc 2 với hệ số rất rất xấu :D
