Bài 1: Phương trình bậc nhất hai ẩn

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nhàn Nguyễn

cho a,b,c là các số dơng thỏa mãn:\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\le3\)

chứng minh: \(\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2}+\dfrac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\ge3\)

DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG
27 tháng 11 2018 lúc 16:13

Ta có : \(3\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\Rightarrow a+b+c\ge3\)

Theo BĐT AM-GM ta có :

\(\dfrac{a}{1+b^2}=a-\dfrac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\dfrac{ab^2}{2b}=a-\dfrac{ab}{2}\)

Tương tự :

\(\dfrac{b}{1+c^2}\ge b-\dfrac{bc}{2}\)

\(\dfrac{c}{1+a^2}\ge c-\dfrac{ca}{2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2}+\dfrac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\ge\left(a+b+c\right)-\dfrac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)+\dfrac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)=a+b+c\ge3\)


Các câu hỏi tương tự
Xuân Nhi Cao Hoàng
Xem chi tiết
The Silent Man
Xem chi tiết
Mộc Lung Hoa
Xem chi tiết
Cường Hoàng
Xem chi tiết
Quốc Huy
Xem chi tiết
Anh Khương Vũ Phương
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Anh Quỳnh
Xem chi tiết
DTD2006ok
Xem chi tiết
Vo Thi Minh Dao
Xem chi tiết