Bài 1: Phương trình bậc nhất hai ẩn

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
The Silent Man

Cho a,b>0 với \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{2}{b}\), chứng minh \(\dfrac{a+b}{2a-b}+\dfrac{c+b}{2c-b}\ge4\)

Sd bđt Cauchy nha!

Neet
22 tháng 6 2017 lúc 23:34

có: \(\dfrac{1}{c}=\dfrac{2}{b}-\dfrac{1}{a}=\dfrac{2a-b}{ab}\Rightarrow2a-b=\dfrac{ab}{c}\)

tương tự ta cũng có \(2c-b=\dfrac{bc}{a}\)

\(VT=\dfrac{c\left(a+b\right)}{ab}+\dfrac{a\left(c+b\right)}{bc}=\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{c}=\left(\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}\right)+\dfrac{a+c}{b}\)

Áp dụng BĐt AM-GM:\(\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}\ge2\)

\(\dfrac{2}{b}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{4}{a+c}\Leftrightarrow a+c\ge2b\)

do đó \(VT\ge2+2=4\)

Dấu = xảy ra khi a=b=c


Các câu hỏi tương tự
Nhàn Nguyễn
Xem chi tiết
Xuân Nhi Cao Hoàng
Xem chi tiết
Quốc Huy
Xem chi tiết
Cường Hoàng
Xem chi tiết
Nguyen Bao Trung
Xem chi tiết
Mộc Lung Hoa
Xem chi tiết
Anh Khương Vũ Phương
Xem chi tiết
Bernard Devlin
Xem chi tiết
Trinhh Tramm
Xem chi tiết