Bài 1: Phương trình bậc nhất hai ẩn

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Anh Khương Vũ Phương

Tìm MIN:

\(G=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x^{10}}{y^2}+\dfrac{y^{10}}{x^2}\right)+\dfrac{1}{4}\left(x^{16}+y^{16}\right)-\left(1+x^2y^2\right)^2\)

Hung nguyen
9 tháng 12 2017 lúc 11:17

\(G=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x^{10}}{y^2}+\dfrac{y^{10}}{x^2}\right)+\dfrac{1}{4}\left(x^{16}+y^{16}\right)-\left(1+x^2y^2\right)^2\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x^{10}}{y^2}+\dfrac{y^{10}}{x^2}\right)+\dfrac{1}{4}\left(x^{16}+y^{16}+1+1\right)-\left(1+x^2y^2\right)^2-\dfrac{1}{2}\)

\(\ge x^4y^4+x^4y^4-\dfrac{3}{2}-2x^2y^2-x^4y^4\)

\(=x^4y^4-2x^2y^2-\dfrac{3}{2}=\left(x^2y^2-1\right)^2-\dfrac{5}{2}\ge-\dfrac{5}{2}\)

Dấu = xảy ra khi: \(x^2=y^2=1\)

Đức Trần
9 tháng 12 2017 lúc 10:31

Theo Cô si:\(\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x^{10}}{y^2}+\dfrac{y^{10}}{x^2}\right)\ge\dfrac{1}{2}.2.\sqrt{x^8y^8}hay\ge x^4y^4\)

tương tự có \(\dfrac{1}{4}\left(x^{16}+y^{16}\right)\ge\dfrac{x^4y^4}{2}\)

Dấu = xảy ra ⇔ x= \(\pm y\)

Khi đó G = \(\dfrac{3}{2}x^4y^4-1-2x^2y^2-x^4y^4=\dfrac{1}{2}\left(x^4y^4-4x^2y^2+\text{4}\right)-3\)

G min = -3 khi \(x^4y^4-4x^2y^2+4=0\Leftrightarrow x^2y^2-2=0\) mà x=+-y suy ra x^4 =2 hay x=\(\pm\sqrt[4]{2}\)

Vậy có 4 cặp nghiệm thỏa mãn (x,y)=(\(\sqrt[4]{2},\sqrt[4]{2}\))\(\left(\sqrt[4]{2},-\sqrt[4]{2}\right),\left(-\sqrt[4]{2},\sqrt[4]{2}\right),\left(-\sqrt[4]{2},-\sqrt[4]{2}\right)\)


Các câu hỏi tương tự
Mộc Lung Hoa
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Anh Quỳnh
Xem chi tiết
Vo Thi Minh Dao
Xem chi tiết
Phạm Quỳnh Anh
Xem chi tiết
Nguyễn Khánh Ly
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Anh Quỳnh
Xem chi tiết
DTD2006ok
Xem chi tiết
phan thị anh thư
Xem chi tiết
Bernard Devlin
Xem chi tiết