Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
ĐỖ THỊ THANH HẬU

Cho
a,b,c > 0 . Chứng minh:

\(\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{c}{a^2}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)

Komorebi
6 tháng 5 2018 lúc 8:50

a, b, c > 0

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM (Cauchy):

\(\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{1}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b^2}.\dfrac{1}{a}}=2\sqrt{\dfrac{1}{b^2}}=\dfrac{2}{b}\)

\(\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{1}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{b}{c^2}.\dfrac{1}{b}}=2\sqrt{\dfrac{1}{c^2}}=\dfrac{2}{c}\)

\(\dfrac{c}{a^2}+\dfrac{1}{c}\ge2\sqrt{\dfrac{c}{a^2}.\dfrac{1}{c}}=2\sqrt{\dfrac{1}{a^2}}=\dfrac{2}{a}\)

Vậy ta có :

\(\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{c}{a^2}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}+\dfrac{2}{a}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{c}{a^2}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\) (đpcm)

Hung nguyen
7 tháng 5 2018 lúc 8:57

Cách dùng hằng đẳng thức:

\(\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{c}{a^2}-\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}\)

\(=\left(\dfrac{a}{b^2}-\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{a}\right)+\left(\dfrac{b}{c^2}-\dfrac{2}{c}+\dfrac{1}{b}\right)+\left(\dfrac{c}{a^2}-\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{c}\right)\)

\(=\left(\dfrac{\sqrt{a}}{b}-\dfrac{1}{\sqrt{a}}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{b}}{c}-\dfrac{1}{\sqrt{b}}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{c}}{a}-\dfrac{1}{\sqrt{c}}\right)^2\ge0\)

Nguyễn Đình Phú
6 tháng 5 2018 lúc 20:30

xét hiệu đấy

Học24h
6 tháng 5 2018 lúc 20:55

Học24h Xin Chào Mọi Người !!!

Nhó
7 tháng 5 2018 lúc 17:30

Áp dụng BĐT côsi ta có:

a² + bc ≥ 2.a√(bc)

<=> 1/(a² + bc) ≤ 1/(2a√(bc)) -------------(1)

tương tự vậy:

1/(b² + ac) ≤ 1/(2b√(ac)) -------------------(2)

1/(c² + ab) ≤ 1/(2c√(ab)) -------------------(3)

lấy (1) + (2) + (3)

=> 1/(a² + bc) + 1/(b² + ac) + 1/(c² + ab) ≤ 1/(2a√(bc)) + 1/(2b√(ac)) + 1/(2c√(ab))

<=>1/(a² + bc) + 1/(b² + ac) + 1/(c² + ab) ≤ √(bc)/2abc + √(ac)/2abc + √(ab)/2abc

<=>1/(a² + bc) + 1/(b² + ac) + 1/(c² + ab) ≤ [√(bc) + √(ac) + √(ab) ]/2abc (!)

Ta chứng minh bổ đề:

√(ab) + √(bc) + √(ac) ≤ a + b + c

thật vậy, áp dụng BĐT côsi ta được:

a + b ≥ 2√(ab) --- (*)

a + c ≥ 2√(ac) --- (**)

b + c ≥ 2√(bc) --- (***)

lấy (*) + (**) + (***) => 2(a + b + c) ≥ 2.[ √(bc) + √(ac) + √(ab) ]

<=> √(bc) + √(ac) + √(ab) ≤ a + b + c (@)

từ (!) và (@)

=> 1/(a² + bc) + 1/(b² + ac) + 1/(c² + ab) ≤ (a + b + c)/2abc ( Đpcm )


Các câu hỏi tương tự
Phạm Đức Minh
Xem chi tiết
Quang Duy
Xem chi tiết
Đổng Ngạc Lương Tịch
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Lặng Thầm
Xem chi tiết
Bong Bóng Công Chúa
Xem chi tiết
Thanh Dương Hoàng
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
vinh siêu nhân
Xem chi tiết