Question

Cho a,b thuộc R*

c/m\(\dfrac{4a^2b^2}{\left(a^2+b^2\right)^2}+\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}\ge3\)

Answer 1

Lạy đề, đâu ra \(c^2\) ko biết :v

#Sửa đề:\(\dfrac{4a^2b^2}{\left(a^2+b^2\right)^2}+\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2}\ge3\)

Chuẩn hóa \(a^2+b^2=2\) thì BĐT là:

\(a^2b^2+\dfrac{a^2}{2-a^2}+\dfrac{b^2}{2-b^2}\ge3\)

Lại có \(a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow ab\le1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{2-a^2}+\dfrac{b^2}{2-b^2}\ge3-\left(ab\right)^2\ge2\)

Lại có BĐT \(\dfrac{a^2}{2-a^2}\ge2a^2-1\)

Đúng vì tương đương \(\dfrac{2\left(a-1\right)^2\left(a+1\right)^2}{2-a^2}\ge0\)

Tương tự rồi cộng theo vế

\(VT\ge2\left(a^2+b^2\right)-1\cdot2=4-2=2\)