Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\frac{a+b}{2}=\frac{(a+b)(1+1)}{4}\geq \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{4}\)
Mà: \(\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{4}=\frac{[(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})]^2}{4(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}=\frac{(a-b)^2}{4(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}\)
Do đó: \(\frac{a+b}{2}\geq \frac{(a-b)^2}{4(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{\sqrt{a}}{1}=\frac{\sqrt{b}}{1}\Leftrightarrow a=b\) (sai vì $a\neq b$). Do đó dấu "=" không xảy ra, hay \(\frac{a+b}{2}> \frac{(a-b)^2}{4(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}\)
Mặt khác:
\(\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{4}=\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{4}\geq \frac{2\sqrt{ab}+2\sqrt{ab}}{4}=\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2}{4(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}\geq \sqrt{ab}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\) (sai do $a\neq b$). Do đó dấu "=" không xảy ra, hay \( \frac{(a-b)^2}{4(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}> \sqrt{ab}\)
Ta có đpcm.
