Bài 2: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức căn bậc hai của bình phương

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Mi Tạ Tiểu

Cho a,b > 0, a\(\ne\)b

C/m : \(\frac{a+b}{2}>\frac{\left(a-b\right)^2}{4\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}>\sqrt{ab}\)

Akai Haruma
30 tháng 6 2019 lúc 15:44

Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\(\frac{a+b}{2}=\frac{(a+b)(1+1)}{4}\geq \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{4}\)

Mà: \(\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{4}=\frac{[(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})]^2}{4(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}=\frac{(a-b)^2}{4(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}\)

Do đó: \(\frac{a+b}{2}\geq \frac{(a-b)^2}{4(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{\sqrt{a}}{1}=\frac{\sqrt{b}}{1}\Leftrightarrow a=b\) (sai vì $a\neq b$). Do đó dấu "=" không xảy ra, hay \(\frac{a+b}{2}> \frac{(a-b)^2}{4(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}\)

Mặt khác:

\(\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{4}=\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{4}\geq \frac{2\sqrt{ab}+2\sqrt{ab}}{4}=\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2}{4(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}\geq \sqrt{ab}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\) (sai do $a\neq b$). Do đó dấu "=" không xảy ra, hay \( \frac{(a-b)^2}{4(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}> \sqrt{ab}\)

Ta có đpcm.


Các câu hỏi tương tự
Lê Diễm Quỳnh
Xem chi tiết
♉ⓃⒶⓂ๖P๖S๖Pツ
Xem chi tiết
Lê Quỳnh Chi
Xem chi tiết
Nguyễn Tố Nga
Xem chi tiết
Trần Nam Hải
Xem chi tiết
vũ quỳnh trang
Xem chi tiết
Phạm NI NA
Xem chi tiết
Thanh Mai Đinh
Xem chi tiết
VannAnhhvute
Xem chi tiết