Bình phương 2 vế:
\(a+4\sqrt{a}+4>a+4\)
\(\Leftrightarrow4\sqrt{a}>0\) (luôn đúng \(\forall a>0\))
Vậy \(\sqrt{a}+2>\sqrt{a+4}\)
\(\sqrt{a}+2>\sqrt{a+4}\) với a>0
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}+2\right)^2>\left(\sqrt{a+4}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a+4+4\sqrt{a}>a+4\)
\(\Leftrightarrow4\sqrt{a}>0\)(LĐ với mọi a>0)
Vì \(\sqrt{a}>0\) với mọi a>o \(\Rightarrow\)4\(\sqrt{a}\)>0
cho a>0 và \(4a^2+a\sqrt{2}-\sqrt{2}\) =0 chứng minh rằng
\(\dfrac{a+1}{\sqrt{a^4+a+1}-a^2}=\sqrt{2}\)
Cho a,b,c>0 thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng
\(\frac{1}{\sqrt{a^4-a^3+ab+2}}+\frac{1}{\sqrt{b^4-b^3+bc+2}}+\frac{1}{\sqrt{c^4-c^3+ca+2}}\le\sqrt{3}\)
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: \(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}>2\)
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2\)
Cho các số thực dương a, b, c > 0 thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=3\)
Chứng minh rằng \(\frac{1}{4-\sqrt{ab}}+\frac{1}{4-\sqrt{bc}}+\frac{1}{4-\sqrt{ca}}\le1\)
1. Cho a,b,c,d là các số dương. Chứng minh rằng: \(\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\le\sqrt{\left(a+d\right)\left(b+c\right)}\)
2. Cho (x;y;z) và (a;b;c) là các số dương. Chứng minh rằng: \(\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{xyz}\le\sqrt[3]{\left(a+x\right)\left(b+y\right)\left(c+z\right)}\)
3. Cho \(c>0\) và \(a,b\ge c\). Chứng minh rằng: \(\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\le\sqrt{ab}\)
cho \(a=\sqrt{x^2+\sqrt[3]{x^4y^2}}+\sqrt{y^2+\sqrt[3]{x^2y^4}}\) chứng minh rằng \(\sqrt[3]{a^2}=\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}\)
Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 4. Chứng minh rằng :
\(\sqrt[4]{a^3}+\sqrt[4]{b^3}+\sqrt[4]{c^3}>2\sqrt{2}\)
Chứng minh biểu thức sau:
Bài 1: \(A=\frac{2x+4\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}\left(x\ge0,x\ne1\right)\)
Chứng minh rằng \(A>6\)
Bài 2: \(B=\frac{2}{x+\sqrt{x}+1}\left(x>0,x\ne1\right)\)
Chứng minh rằng \(0< B< 2\)
