Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD , BE , CF cắt nhau tại H .

Chứng minh :

a) Các tứ giác AEHF , BCEF nội tiếp

b) H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác EDF

c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF đi qua trung điểm M cạnh BC

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R . Trên nửa đường tròn lấy các điểm M và N khác A và B sao cho M thuộc cung AN và MN = R . Gọi Q là giao điểm của AN và BM , P là giao điểm của AM và BN a) Tính số đo cung MN b)Tính các góc APB và AQB c) Chứng minh tứ giác PMQN nội tiếp . Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác PMQN theo R

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và điểm C nằm trên nửa đường tròn ( C # A , C # B ) . Kẻ CH vuông góc với AB ( H ∈ AB ) . Trên đoạn thẳng CH lấy điểm M ( M # H , M # C ) . Tia AM cắt nửa đường tròn ( O ) tại điểm thứ hai N

Chứng minh :

a) Tứ giác MHBN nội tiếp

b) AM.AN= AC2

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) và có góc BAC=120độ. Tính BC theo R

\(\frac{1}{2}e^{2x}=\frac{e^{2x}}{2}+C\)

\(\int-\frac{5}{16\left(1-x\right)}+\frac{7}{4\left(1-x\right)^2}-\frac{5}{16\left(x+3\right)}dx\)

= \(-\int\frac{5}{16\left(1-x\right)}dx+\int\frac{7}{4\left(1-x\right)^2}dc-\int\frac{5}{16\left(x+3\right)}dx\)

= \(\frac{5}{16}ln\left|1-x\right|+\frac{7}{4-4x}-\frac{5}{16}ln\left|x+3\right|\)+C

Cho hình vuông ABCD . Các điểm M,N thay đổi trên các cạnh BC , CD sao cho \(\widehat{MAN}\) = 45 độ . M , N không trùng với các đỉnh của hình vuông . Gọi P , Q lần lượt là giao điểm của AM , AN với BD . Chứng minh :

a ) Các tứ giác ABMQ , ADNP nội tiếp

b) Tứ giác MNQP nội tiếp

c) Tỉ số diện tích của 2 tam giác APQ và AMN không đổi

d) NA là phân giác của MND

e) MN tiếp xúc với 1 đường tròn cố định

Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD , BE , CF cắt nhau tại H .

Chứng minh :

a) Các tứ giác AEHF , BCEF nội tiếp

b) H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác EDF

c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF đi qua trung điểm M cạnh BC

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và điểm C nằm trên nửa đường tròn ( C # A , C # B ) . Kẻ CH vuông góc với AB ( H ∈ AB ) . Trên đoạn thẳng CH lấy điểm M ( M # H , M # C ) . Tia AM cắt nửa đường tròn ( O ) tại điểm thứ hai N

Chứng minh :

a) Tứ giác MHBN nội tiếp

b) AM.AN= AC²