Question

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và điểm C nằm trên nửa đường tròn ( C # A , C # B ) . Kẻ CH vuông góc với AB ( H ∈ AB ) . Trên đoạn thẳng CH lấy điểm M ( M # H , M # C ) . Tia AM cắt nửa đường tròn ( O ) tại điểm thứ hai N

Chứng minh :

a) Tứ giác MHBN nội tiếp

b) AM.AN= AC2

Answer 1

a/ ta có: góc ANBlà góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB

=> góc ANB =90^o

Ta lại có: CH vuông góc với AB => góc CHB =90^o

tứ giác MHBN có: góc MNB+ góc MHB =180^o(vì góc MHB= góc MNB =90^o) mà 2 góc này ở vị trí đối nhau

=> tứ giác MHBN nội tiếp đường tròn(đpcm)

b/nối AC

ta có góc ACB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB

=> góc ACB=90^o

tam giác ACB vuông tại C có đường cao CH nên theo hệ thức lượng ta có:

AC²=AH.AB(1)

xét tam giác AMH và tam giác ANB có:

góc NAB chung

góc AHM= góc ANB (=90^o)

=> tam giác AMH ~ tam giác ABN (g-g)

=> \(\frac{AM}{AH}=\frac{AB}{AN}\Rightarrow AM.AN=AB.AH\left(2\right)\)

từ (1) và (2) ta có: AC²=AM/AN (đpcm)