ĐKXĐ: \(x\ne-4\)
a) Ta có: \(A=\frac{x^2+4x}{x^2+8x+16}\)
\(=\frac{x\left(x+4\right)}{\left(x+4\right)^2}\)
\(=\frac{x}{x+4}\)
Để A=0 thì \(\frac{x}{x+4}=0\)
hay x=0(nhận)
Vậy: Khi A=0 thì x=0
b) Ta có: \(x^2-16=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-4\right)\left(x+4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-4=0\\x+4=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\\x=-4\end{matrix}\right.\)
Vì x=-4 không thỏa mãn điều kiện xác định
nên Thay x=4 vào biểu thức \(A=\frac{x}{x+4}\), ta được:
\(A=\frac{4}{4+4}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\)
Vậy: Khi \(x^2-16=0\) thì \(A=\frac{1}{2}\)
c) Để \(A=\frac{3}{2}\) thì \(\frac{x}{x+4}=\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow2x=3\left(x+4\right)\)
\(\Leftrightarrow2x=3x+12\)
\(\Leftrightarrow2x-3x-12=0\)
\(\Leftrightarrow-x-12=0\)
\(\Leftrightarrow-x=12\)
hay x=-12(nhận)
Vậy: Khi \(A=\frac{3}{2}\) thì x=-12
d) Ta có: \(\left|A\right|=\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}A=\frac{1}{2}\\A=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\frac{x}{x+4}=\frac{1}{2}\\\frac{x}{x+4}=\frac{-1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x=x+4\\2x=-x-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x-x=4\\2x+x=-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\\3x=-4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\left(nhận\right)\\x=-\frac{4}{3}\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy: Khi \(\left|A\right|=\frac{1}{2}\) thì \(x\in\left\{4;-\frac{4}{3}\right\}\)
e) Để A>0 thì \(\frac{x}{x+4}>0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x>0\\x+4>0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x< 0\\x+4< 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x>0\\x>-4\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x< 0\\x< -4\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x>0\left(nhận\right)\\x< -4\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy: Để A>0 thì x>0 hoặc x<-4
g) Để A nhận giá trị nguyên thì \(x⋮x+4\)
\(\Leftrightarrow x+4-4⋮x+4\)
mà \(x+4⋮x+4\)
nên \(-4⋮x+4\)
\(\Leftrightarrow x+4\inƯ\left(-4\right)\)
\(\Leftrightarrow x+4\in\left\{1;-1;2;-2;4;-4\right\}\)
hay \(x\in\left\{-3;-5;-2;-6;0;-8\right\}\)(nhận)
Vậy: Để A nhận giá trị nguyên thì \(x\in\left\{-3;-5;-2;-6;0;-8\right\}\)
h) Ta có: \(B=\left(x^2-16\right)\cdot A\)
\(=\left(x-4\right)\left(x+4\right)\cdot\frac{x}{x+4}\)
\(=\frac{x\left(x-4\right)\left(x+4\right)}{x+4}\)
\(=x\left(x-4\right)\)
\(=x^2-4x+4-4\)
\(=\left(x-2\right)^2-4\)
Ta có: \(\left(x-2\right)^2\ge0\forall x\)
\(\Rightarrow\left(x-2\right)^2-4\ge-4\forall x\)
Dấu '=' xảy ra khi x-2=0
hay x=2(nhận)
Vậy: Giá trị nhỏ nhất của \(B=\left(x^2-16\right)\cdot A\) là -4 khi x=2
