Nguyễn Thanh Hiền: Ok. Nếu là $\frac{5}{16}$ thì bạn giải tương tự như bài $(a^2+3)(b^2+3)(c^2+3)$ đã đăng trước.
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((a^2+1)[1+(b+c+1)^2]\geq (a+b+c+1)^2\)
\(\Rightarrow \frac{5}{16}(a^2+1)[1+(b+c+1)^2]\geq \frac{5}{16}(a+b+c+1)^2\)
Ta cần chứng minh:
\((b^2+1)(c^2+1)\geq \frac{5}{16}[1+(b+c+1)^2]\)
\(\Leftrightarrow 16(b^2+1)(c^2+1)\geq 5[1+(b+c+1)^2]\)
\(\Leftrightarrow 16b^2c^2+11b^2+11c^2+6-10bc-10b-10c\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (4bc-1)^2+\frac{5}{2}(2b-1)^2+\frac{5}{2}(2c-1)^2+(b-c)^2\geq 0\)
(luôn đúng)
Do đó ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{2}$
Bạn xem lại đề. BĐT sai với $a=b=c=1$
