a5 + b5 = 9(c5 + d5)
<=> a5 + b5 + c5 + d5 = 10(c5 + d5)
mà 10(c5 + d5) chia hết cho 10 nên a5 + b5 + c5 + d5 chia hết cho 10 (*1)
Ta có: a5 - a = a(a4 - 1)
= a(a2 - 1)(a2 + 1)
= a(a - 1)(a + 1)(a2 - 4 + 5)
= a(a - 1)(a + 1)(a2 - 4) + 5(a - 1)a(a + 1)
= (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) + 5(a - 1)a(a + 1)
Vì a là số tự nhiên nên (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) là tích 5 số nguyên liên tiếp
=> (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) chia hết cho 2 và 5
Mà (2;5)=1 nên (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) chia hết cho 10 (1)
a là số tự nhiên nên (a - 1)a(a + 1) là tích 3 số nguyên liên tiếp => (a - 1)a(a + 1) chia hết cho 2
=> 5(a - 1)a(a + 1) chia hết cho 10 (2)
Từ (1) và (2) suy ra (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) + 5(a - 1)a(a + 1) chia hết cho 10
hay a5 - a chia hết cho 10
CMTT: b5 - b; c5 - c; d5 - d chia hết cho 10
Do đó, a5 - a + b5 - b + c5 - c + d5 - d chia hết cho 10
<=> a5 + b5 + c5 + d5 - (a + b + c + d) chia hết cho 10 (*2)
Từ (*1) và (*2) suy ra a + b + c + d chia hết cho 10
hay S chia hết cho 10
=> chữ số tận cùng của S là 0
