Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
jksadsas

Cho a + b + c chia hết cho 6 và a, b, c là số nguyên. Chứng minh \(\left(a^3+b^3+c^3\right)\) chia hết cho 6

Fa Châu De
30 tháng 10 2019 lúc 18:42

Ta có:

\(a^3+b^3+c^3=\left(a^3-a\right)+\left(b^3-b\right)+\left(c^3-c\right)+\left(a+b+c\right)\)

\(a^3-a=a\left(a^2-1\right)=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\)

tương tự có: \(b^3-b=\left(b-1\right)b\left(b+1\right)\)

\(c^3-c=\left(c-1\right)c\left(c+1\right)\)

Xét \(\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\):

(1) nếu a = 2 => \(\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮2\)

nếu a ≠ 2 => a là số lẻ => a + 1⋮ 2 hoặc a - 1\(⋮\) 2

Vậy \(\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮2\)

(2) nếu a = 3 => \(\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮3\)

nếu a ≠ 3 => a + 1⋮ 3 hoặc a - 1 ⋮ 3

Vậy ​​\(\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮3\)

Từ (1) và (2), suy ra ​\(\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮6\)

Chứng minh tương tự có:

\(\left(b-1\right)b\left(b+1\right)⋮6\)\(\left(c-1\right)c\left(c+1\right)⋮6\)

=> \(\left(a^3-a\right)⋮6\); \(\left(b^3-b\right)⋮6\); \(\left(c^3-c\right)⋮6\)

và a + b + c ⋮ 6 (giả thuyết)

=> \(\left(a^3+b^3+c^3\right)⋮6\)

Khách vãng lai đã xóa
Nguyễn Thành Trương
30 tháng 10 2019 lúc 19:29

Xét hiệu : (a3 + b3 + c3) - (a + b + c) = a3 + b3 + c3 - a - b - c = (a3 - a) + (b3 - b) + (c3 - c) = a(a2 - 1) + b(b2 - 1) + c(c2 - 1) = a(a - 1)(a + 1) + b(b - 1)(b + 1) + c(c - 1)(c + 1)

a(a - 1)(a + 1) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên a(a - 1)(a + 1) chia hết cho 2 và 3

Mà (2,3) = 1

=> a(a - 1)(a + 1) chia hết cho 6

Tương tự b(b - 1)(b + 1) chia hết cho 6

c(c -1)(c + 1) chia hết cho 6

=>(a3 + b3 + c3) - (a + b + c) chia hết cho 6

Mà a + b + c chia hết cho 6

=>a3 + b3 + c3 chia hết cho 6(đpcm)

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Đặng Thị Hông Nhung
Xem chi tiết
Trịnh Thị Việt Hà
Xem chi tiết
TRÂN LÊ khánh
Xem chi tiết
Thu Hoàng
Xem chi tiết
shoppe pi pi pi pi
Xem chi tiết
Phan Thị Ngọc Tú
Xem chi tiết
Lê Hoàng Thảo Nguyên
Xem chi tiết
shoppe pi pi pi pi
Xem chi tiết
Pham tra my
Xem chi tiết