Question

cho a >0 b>0 c>0 chúng minh :

\(\dfrac{a^5}{b^3}+\dfrac{b^5}{c^3}+\dfrac{c^5}{a3}\ge\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^5}{c}+\dfrac{c^3}{a}\)

giúp mik với cần gấp

Answer 1

Giờ mới rảnh sorry :(

Theo BĐT Cauchy-Schwarz (Bunhia hay B.C.S hay Schwarz hay Cauchy....)

\(\left(ab+bc+ca\right)\left(\dfrac{a^5}{b^3}+\dfrac{b^5}{c^3}+\dfrac{c^5}{a^3}\right)\ge\left(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\right)^2\)

Cần chỉ ra \(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge ab+bc+ca\left(1\right)\)

Tiếp tục dùng C-S dạng Engel (hoặc Schwarz hay C-S dạng phân thức hay Svasc...)

\(VT_{\left(1\right)}=\dfrac{a^4}{ab}+\dfrac{b^4}{bc}+\dfrac{c^4}{ca}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\ge ab+bc+ca=VP_{\left(1\right)}\)

BĐT trên đúng nên ta có ĐPCM

\("=" \Leftrightarrow a=b=c\)