Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
SA Na

giúp mình vài câu sau nha
thanks nhiều

1. cho a,b,c > 0
C/m: \(\dfrac{a^3+b^3}{ab}+\dfrac{b^3+c^3}{bc}+\dfrac{c^3+a^3}{ca}>=2\left(a+b+c\right)\)

2. cho a,b,c > 0
C/m: \(\dfrac{a^4}{bc^2}+\dfrac{b^4}{ca^2}+\dfrac{c^4}{ab^2}>=a+b+c\)

3. cho a,b,c > 0 và \(a^2+b^2+c^2=3\)
C/m: \(\dfrac{a^3}{b+c}+\dfrac{b^3}{c+a}+\dfrac{c^3}{a+b}>=\dfrac{3}{2}\)

4. cho a,b,c > 0
C/m: \(\dfrac{a^3}{a^2+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+a^2}>=\dfrac{a+b+c}{2}\)

Nguyễn Huy Tú
4 tháng 2 2018 lúc 21:18

Bài 3:

Ta có: \(a^2+b^2+c^2=3\ge ab+bc+ca\) ( tự cm bđt nha )

Áp dụng bất đẳng thức Schwarz ta có:

\(\dfrac{a^3}{b+c}+\dfrac{b^3}{c+a}+\dfrac{c^3}{a+b}=\dfrac{a^4}{ab+bc}+\dfrac{b^4}{bc+ab}+\dfrac{c^4}{ac+bc}\)

\(\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)

\(\Rightarrowđpcm\)

Dấu " = " khi a = b = c = 1

Bài 4:

Ta có: \(\dfrac{a^3}{a^2+b^2}=\dfrac{a\left(a^2+b^2\right)-ab^2}{a^2+b^2}=a-\dfrac{ab^2}{a^2+b^2}\ge a-\dfrac{ab^2}{2ab}=a-\dfrac{b}{2}\)

( BĐT AM - GM )

Tương tự \(\Rightarrow\dfrac{b^3}{c^2+a^2}\ge b-\dfrac{c}{2}\)

\(\dfrac{c^3}{c^2+a^2}\ge c-\dfrac{a}{2}\)

\(\Rightarrow VT\ge\left(a+b+c\right)-\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\dfrac{a+b+c}{2}\)

Dấu " = " khi a = b = c

Lightning Farron
4 tháng 2 2018 lúc 23:04

Tiếp sức cho Tú đệ

Bài 1: \(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)

\(\ge\left(a+b\right)\left(2ab-ab\right)=ab\left(a+b\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^3+b^3}{ab}\ge\dfrac{ab\left(a+b\right)}{ab}=a+b\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:

\(VT\ge VP."="\Leftrightarrow a=b=c\)

Bài 2: Holder:

\(\left(\dfrac{a^4}{bc^2}+\dfrac{b^4}{ca^2}+\dfrac{c^4}{ab^2}\right)\left(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}+\dfrac{ab}{c}\right)\left(c+a+b\right)\ge\left(a+b+c\right)^3\)

Cần chứng minh \(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}+\dfrac{ab}{c}\ge a+b+c\)

AM-GM: \(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{bc}{a}\cdot\dfrac{ca}{b}}=2c\)

Tương tự rồi cộng theo vế:

\("=" \Leftrightarrow a=b=c\)


Các câu hỏi tương tự
SA Na
Xem chi tiết
Thiên Yết
Xem chi tiết
Quách Phú Đạt
Xem chi tiết
SA Na
Xem chi tiết
Hoàng
Xem chi tiết
Thảo Vi
Xem chi tiết
vung nguyen thi
Xem chi tiết
Vũ Như Quỳnh
Xem chi tiết
Tae Tae
Xem chi tiết