\(\sqrt{\frac{xy}{xy+z}}=\sqrt{\frac{xy}{xy+z\left(x+y+z\right)}}=\sqrt{\frac{xy}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+z}+\frac{y}{y+z}\right)\)
Tương tự: \(\sqrt{\frac{yz}{yz+x}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x+y}+\frac{z}{x+z}\right)\) ; \(\sqrt{\frac{zx}{zx+y}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{z}{y+z}\right)\)
Cộng vế với vế ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Cho x,y,z.0, cmr:
\(\Sigma_{cyc}\frac{x}{y}\ge\sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}}\)tth
CHO x,y,z >0 ,xyz=\(\frac{1}{2}\)
CMR:\(\frac{yz}{x^2\left(y+z\right)}\)+\(\frac{zx}{y^2\left(z+x\right)}\)+\(\frac{xy}{z^2\left(x+y\right)}\) ≥ xy+yz+zx
Cho các số thực dương thỏa mãn : \(x^2+y^2+z^2=3\)
Chứng minh rằng : \(\frac{x}{3-yz}+\frac{y}{3-zx}+\frac{z}{3-xy}\le\frac{3}{2}\)
Cho các số dương x,y,z thỏa mãn xyz=1. Tìm Min \(P=\dfrac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}+\dfrac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}+\dfrac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{zx}\)
Cho x, y, z là 3 số dương thỏa mãn xy + yz + zx = 3. Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{1+x^2\left(y+z\right)}+\frac{1}{1+y^2\left(z+x\right)}+\frac{1}{1+z^2\left(x+y\right)}\le\frac{1}{xyz}\)
Cho các số thực x, y, z thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2=3\). Chứng minh \(\frac{x}{3-yz}+\frac{y}{3-zx}+\frac{z}{3-xy}\le\frac{3}{2}\)
Cho các số dương x,y,z thỏa mãn \(xy+yz+zx=1\)
Chứng minh rằng \(\dfrac{x}{1+yz}+\dfrac{y}{1+zx}+\dfrac{z}{1+xy}\ge\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\)
Cho x,y,z dương thỏa mãn xyz=1. GTNN của
P=\(\dfrac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}+\dfrac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}+\dfrac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{zx}\)
cho x,y,z > 0 thỏa mãn x + y + z = 2. Cmr:
\(\sqrt{xy^3+yz^3+zx^3}+\sqrt{x^3y+y^3z+z^3x}\le2\)
