Question

Cho 2 số thực TM \(\left(x+y\right)^3+4xy\ge2\). GTNN của biểu thức S = x + y là ??

Answer 1

\(\left(x+y\right)^3+4xy-2\ge0\) (1)

Ta có: \(\left(x-y\right)^2\ge0\) \(\forall x;y\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2-2xy\ge0\Leftrightarrow x^2+y^2+2xy-4xy\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-4xy\ge0\) (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được:

\(\left(x+y\right)^3+\left(x+y\right)^2-2\ge0\)

\(\Leftrightarrow S^3+S^2-2\ge0\Leftrightarrow\left(S-1\right)\left(S^2+2S+2\right)\ge0\)

Mặt khác \(S^2+2S+2=\left(S+1\right)^2+1>0\) \(\forall S\)

\(\Rightarrow S-1\ge0\Rightarrow S\ge1\)

\(\Rightarrow S_{min}=1\) khi \(x=y=\frac{1}{2}\)