Question

cho 2 số dương a,b thoả mãn a²+b²=2

Tìm GTNN của M=\(\frac{a^3}{2016a+2017b}+\frac{b^3}{2017a+2016b}\)

Answer 1

Vì a ; b dương , áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương , ta có :

\(a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow2\ge2ab\Rightarrow ab\le1\)

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số , ta có :

\(M=\frac{a^3}{2016a+2017b}+\frac{b^3}{2017a+2016b}=\frac{a^4}{2016a^2+2017ab}+\frac{b^4}{2017ab+2016b^2}\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2016a^2+2017ab+2017ab+2016b^2}=\frac{4}{2016\left(a^2+b^2\right)+4034ab}\)

\(\ge\frac{4}{2016.2+4034.1}=\frac{4}{8066}=\frac{2}{4033}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=1\)