Question

Cho \(0\le a,b,c\le2\)và \(a+b+c=3\). Tìm Min, Max: \(P=^2+b^2+c^2\)

Answer 1

*)Min: Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge9\)\(\Rightarrow P\ge3\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)

*)Max: Không mất tính tổng quát giả sử \(a\ge b\ge c\)

Đặt \(f\left(x\right)=x^2\) là hàm lồi trên \((0;2)\) và thỏa \(a+b+c=3\) nên \((2;1;0) \succ(a,b,c)\)

Áp dụng BĐT Karamata ta có:

\(a^2+b^2+c^2\le2^2+1^2+0^2=5\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=2;b=1;c=0\)