Ta có \(a\left(1-a\right)\left(1-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2b\ge a^2+ab-a\)
Tương tự \(b^2c\ge b^2+bc-b;c^2a\ge c^2+ca-a\)
\(\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a+1\ge a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca-a-b-c+1\)\(=a^2+b^2+c^2+\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)+abc\ge a^2+b^2+c^2\)
Hay \(a^2+b^2+c^2\le a^2b+b^2c+c^2a+1\)
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác cm:
a)\(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\)
b)\(abc\ge\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\)
c)\(2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4>0\)
d)\(a\left(b-c\right)^2+b\left(c-a\right)^2+c\left(a+b\right)^2>a^3+b^3+c^3\)
Cho a,b,c >0
CMR: \(\frac{a}{2a+b}+\frac{b}{2b+c}+\frac{c}{2c+a}\le1\)
cho pt: \(ã^2+bx+c=0\left(a\ne0\right)\)có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn \(0\le x_1\le x_2\le1\). tìm GTLN của P=\(\frac{5a^2-6ab+b^2}{2a^2-2ab+ac}\)
1.cho a^2-b^2=4c^2.CM: (5a-3b+8c)(5a-3b-8c)=(3a-5b)^2
2.cho a^2+b^2+c^2=2017. Tính M=(2a+2b-c)^2+(2b+2c-a)^2+(2c+2a-b)^2
Cho a,b>0 . Chứng minh \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) (1). Áp dụng cm các bđt sau:
a)\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge2\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\) với a,b,c>0
b)\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge2\left(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\right)\) với a,b,c>0
c)Cho a,b,c>0 tm \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=4\) . CM \(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\le1\)
d) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác, p là nửa chu vi .CMR:
\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Cho a, b, c. CMR:
\(\sqrt[3]{\left(\frac{2a}{b+c}\right)^2}+\sqrt[3]{\left(\frac{2b}{c+a}\right)^2}+\sqrt[3]{\left(\frac{2c}{a+b}\right)^2}\ge3\)
cho a,b,c>0 thỏa mãn ab+bc+ca=3.cmr:
\(P=\frac{a^2b+b^2c+c^2a}{3}+\sqrt[3]{9\left(a+b+c\right)}\ge4\)
Cho f là hàm số lẻ và đồng biến trên R. a,b,c là các số thực thỏa mãn a+b+c=0. Chứng minh rằng :
f(a).f(b) + f(b).f(c) + f(c).f(a) \(\le\) 0
Cho các số thực a,b,c đôi một khác nhau thõa mãn \(0\le a;b;c\le2\).
CMR : \(\dfrac{1}{\left(a-b\right)^2}+\dfrac{1}{\left(b-c\right)^2}+\dfrac{1}{\left(c-a\right)^2}\ge\dfrac{9}{4}\)
