Câu a :
Ta có :
\(\Delta=4\left(n^2-2n+1\right)-4\left(2n-3\right)\)
\(=4n^2-8n+4-8n+12\)
\(=4n^2-16n+16\)
\(=4\left(n-2\right)^2\ge0\)
Nên phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị n .
Câu b :
Theo định lý vi-ét ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2n-2\\x_1.x_2=2n-3\end{matrix}\right.\)
Mà : \(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2.x_1.x_2=10\)
\(\Leftrightarrow\left(2n-2\right)^2-2\left(2n-3\right)=10\)
\(\Leftrightarrow4n^2-8n+4-4n+6-10=0\)
\(\Leftrightarrow4n^2-12n=0\)
\(\Leftrightarrow4n\left(n-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}4n=0\\n-3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}n=0\\n=3\end{matrix}\right.\)
a)Ta có:\(\Delta'=\left(-\left(n-1\right)\right)^2-\left(2n-3\right)=n^2-2n+1-2n+3\)\(=n^2-4n+4=\left(n-2\right)^2\ge0\forall n\)
⇒phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của n
b)Khi đó theo Viets:\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(n-1\right)=2n-2\\x_1\cdot x_2=2n-3\end{matrix}\right.\)
Ta có:\(x_1^2+x_2^2=10\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1\cdot x_2=10\)
\(\Leftrightarrow\left(2n-2\right)^2-2\left(2n-3\right)-10=0\)
\(\Leftrightarrow4n^2-8n+4-4n+6-10=0\)
\(\Leftrightarrow4n^2-12n=0\Leftrightarrow4n\left(n-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}4n=0\\n-3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}n=0\\n=3\end{matrix}\right.\)
Vậy \(\left[{}\begin{matrix}n=0\\n=3\end{matrix}\right.\) thì phương trình có 2 nghiệm \(x_1;x_2\) thỏa mãn \(x_1^2+x_2^2=10\)
(Đây chỉ là ý kiến của riêng mình.Có gì sai hoặc thiếu sót bạn thông cảm và chữa cho mình nha!!Cảm ơn nhiều ạ!!!)
