Câu 1:
Cho phương trình: 2x2 + 5x - 8 = 0
a) Chứng tỏ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2.
b) Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức: \(A=\dfrac{2}{x_1}+\dfrac{2}{x_2}.\)
Câu 2:
Cho biểu thức \(P=\dfrac{a+4\sqrt{a}+4}{\sqrt{a}+2}+\dfrac{4-a}{2-\sqrt{a}}\) (với a ≥ 0; a ≠ 4).
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tính \(\sqrt{P}\) tại a thỏa mãn điều kiện a2 - 7a + 12 = 0.
Câu 3:
a) Giải hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{y}=\dfrac{3}{2}\\3x-2y=5\end{matrix}\right.\)
b) Xác định hệ số a và b của hàm số y = ax + b biết đồ thị của nó là đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = x + 2 và chắn trên hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2.
Câu 4:
Cho đường tròn (O; R), đường kính AD. B là điểm chính giữa của nửa đường tròn, C là điểm trên cung AD không chứa điểm B (C khác A và D) sao cho tam giác ABC nhọn.
a) Chứng minh tam giác ABD vuông cân.
b) Kẻ AM ⊥ BC, BN ⊥ AC. Chứng minh tứ giác ABMN nội tiếp. Xác định tâm I đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABMN.
c) Chứng minh điểm O thuộc đường tròn (I).
Câu 1
a) Xét phương trình : 2x2 +5x - 8 = 0
Có \(\Delta=5^2-4.2.\left(-8\right)=89>0\)
=> Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2
b) Do phương trình luôn có 2 nghiệm x1,x2
=> Theo định lí viet ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{5}{2}\\x_1.x_2=-4\end{matrix}\right.\)
A = \(\dfrac{2}{x_1}+\dfrac{2}{x_2}=\dfrac{2.x_2}{x_1x_2}+\dfrac{2x_1}{x_1x_2}=\dfrac{2\left(x_1+x_2\right)}{x_1x_2}=\dfrac{2.\left(-\dfrac{5}{2}\right)}{-4}=\dfrac{-5}{-4}=\dfrac{5}{4}\)
Vậy A = \(\dfrac{5}{4}\)
Câu 2
Ta có \(P=\dfrac{a+4\sqrt{a}+4}{\sqrt{x}+2}+\dfrac{4-a}{2-\sqrt{a}}\left(a\ge0;a\ne4\right)\)
\(=\dfrac{\left(2+\sqrt{a}\right)^2}{2+\sqrt{a}}+\dfrac{\left(2-\sqrt{a}\right)\left(2+\sqrt{a}\right)}{2-\sqrt{a}}\)
\(=\sqrt{a}+2+\left(2+\sqrt{a}\right)=2\sqrt{a}+4\)
Vậy P = \(2\sqrt{a}+4\left(a\ge0;a\ne4\right)\)
b) Ta có a2 - 7a + 12 = 0
\(\Leftrightarrow a^2-4a-3a+12=0\)
\(\Leftrightarrow a\left(a-4\right)-3\left(a-4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-4\right)\left(a-3\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=4\left(loại\right)\\a=3\end{matrix}\right.\)
Với a = 3 thay vào P ta được P = \(2\sqrt{3}+4\)
\(\Rightarrow\sqrt{P}=\sqrt{2\sqrt{3}+4}=\sqrt{3+2\sqrt{3}+1}=\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}=\sqrt{3}+1\)
Vậy \(\sqrt{P}=\sqrt{3}+1\) tại a2 -7a + 12 =0
Câu 3
Xét hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{y}=\dfrac{3}{2}\\3x-2y=5\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=3y\\3x-2y=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-3y=0\\3x-2y=5\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6x-9y=0\\6x-4y=10\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-5y=-10\\2x-3y=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2\\x=3\end{matrix}\right.\)
Vậy hpt có nghiệm (x;y) = (2;3)
Câu 3 b
Do đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = x+2
=> \(\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b\ne2\end{matrix}\right.\) => hàm số có dạng y = x + b
+) Cho x = 0 => y = b => A(0;b) thuộc đồ thị hàm số => OA = |b|
+) Cho y = 0 => x= -b => B(-b;0) thuộc đồ thị hàm số => OB = |-b| = |b|
Để hàm số chắn trên hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2.
=> \(\dfrac{1}{2}OA.OB=2\)
\(\Leftrightarrow OA.OB=4\)
\(\Leftrightarrow\left(\left|b\right|\right)^2=4\Leftrightarrow b^2=4\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}b=2\left(loại\right)\\b=-2\end{matrix}\right.\)
Vậy hàm số cần tìm là: y = x - 2
cho mình gửi lại ạ, nãy mình đăng nhập nhầm tài khoản.
Câu 4:
a)
vì điểm B nhìn đoạn AD dưới 1 góc vuông
suy ra góc ABD = 90
mà AB = BD (B là điểm chính giữa cung AD)
suy ra tam giác ABD vuông cân tại B
b)
xét tứ giác ABMN có
góc AMB = BNA = 90
suy ra tứ giác ABMN có 2 góc kề bằng nhau cùng nhìn đoạn AB dưới 1 góc ko đổi
suy ra tứ giác ABMN nội tiếp
gọi I là trung điểm AB
vì tam giác ABM vuông tại M
mà I là trung điểm AB
suy ra IA = IB = IM
chứng minh tương tự, ta được IA = IB = IN
suy ra IA = IB = IM = IN
hay I là tâm đường tròn ngoại tiết tứ giác ABMN
đáp án của câu 3 là:
Xét hệ phương trình:
