Câu 1 : Cho parabol y = x2 và hai điểm A, B thuộc parabol với hoành độ tương ứng là 1 và -2 . Tìm điểm trên cung AB của parabol sao cho tam giác AMB có diện tích lớn nhất ?
Câu 2 : Cho hai số dương A,B khác nhau thỏa mãn \(a-b=\sqrt{1-b^2}-\sqrt{1-a^2}\)
Tính giá trị của biểu thức : \(A=a^2+b^2\)
Câu 1: Thiếu dữ kiện điểm $M$
Câu 2:
PT $\Leftrightarrow a+\sqrt{1-a^2}=b+\sqrt{1-b^2}$
$\Rightarrow a^2+1-a^2+2a\sqrt{1-a^2}=b^2+1-b^2+2b\sqrt{1-b^2}$ (bình phương 2 vế)
$\Leftrightarrow a\sqrt{1-a^2}=b\sqrt{1-b^2}$
$\Rightarrow a^2(1-a^2)=b^2(1-b^2)$
$\Leftrightarrow a^2-b^2-(a^4-b^4)=0$
$\Leftrightarrow (a^2-b^2)-(a^2-b^2)(a^2+b^2)=0$
$\Leftrightarrow (a^2-b^2)(1-a^2-b^2)=0$
Vì $a\neq b$ nên $a^2-b^2\neq 0$. Do đó $1-a^2-b^2=0$
$\Leftrightarrow A=a^2+b^2=1$
Câu 1:
$A,B$ thuộc parabol $y=x^2$ nên dễ thấy $A(1,1)$ và $B(-2,4)$
$\Rightarrow AB^2=(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2=18$
Điểm $M$ nằm trên cung $AB$ nghĩa là điểm $M$ thuộc đường tròn đường kính $AB$
$\Rightarrow \widehat{AMB}=90^0$ (góc nt chắn nửa đường tròn)
$\Rightarrow \triangle MAB$ là tam giác vuông tại $M$
Áp dụng BĐT AM-GM kết hợp định lý Pitago:
\(S_{AMB}=\frac{MA.MB}{2}\leq \frac{MA^2+MB^2}{4}=\frac{AB^2}{4}=\frac{18}{4}=4,5\)
Vậy $S_{AMB}$ max bằng $4,5$. Giá trị này đạt được tại $MA=MB$ hay điểm $M$ nằm chính giữa cung $AB$
