Question

Câu 1:

a) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3, chứng minh p² + 2018 là hợp số.

b) Cho n là số tự nhiên có 2 chữ số. Tìm n+ 4 và 2n đều là các số chính phương.

Câu 2 : Tìm x biết : 2^x+2. 3^x+1. 5^x = 10800

Answer 1

Ta đặt \(n+4=a^2\). Vì n là STN có 2 chữ số:

\(10\le n\le99\Rightarrow14\le a^2\le103\)

\(\Rightarrow4\le a\le10\)

Ta dễ thấy: \(2n\) là số bình phương chẵn, nên \(2n⋮4,n⋮2\)

\(\Rightarrow n+4\left(chẵn\right)\Rightarrow a\left(chẵn\right)\)

\(\Rightarrow a\in\left\{4,6,8,10\right\}\)

* \(a=4\Rightarrow n^2-4=12\Rightarrow2n=24\notin\) số chính phương

* \(a=6\Rightarrow n=a^2-4=32\Rightarrow2n=64\in spc\left(Tm\right)\)

* \(a=8\Rightarrow n=a^2-4=60\Rightarrow2n=120\notin\) số chính phương

* \(a=10\Rightarrow n=a^2-4=96\Rightarrow2n=196\notin\) số chính phương

Vậy \(n=32\left(đpcm\right)\)

Answer 2

1)a)p là số nguyên tố

\(\Rightarrow p\equiv r\left(mod3\right)\left(r\in1,2\right)\)

\(\Rightarrow p^2\equiv1^2\equiv2^2\equiv1\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow p^2+2018⋮3\)

Mà \(p^2+2018>3\Rightarrow p^2+2018\) là hợp số