Question

Bài 1: Cho x+y+z+xy+xz+yz=6
Chứng minh x²+y²+z²≥3
Bài 2: Chứng minh 2(a⁴+b⁴) ≥ ab³+a³b+2a²b² với mọi a,b

Answer 1

Bài 1 :

Theo BĐT cô - si ta có :

\(x^2+y^2\ge2xy\)

\(x^2+1\ge2x\)

\(y^2+z^2\ge2yz\)

\(y^2+1\ge2y\)

\(z^2+x^2\ge2zx\)

\(z^2+1\ge2z\)

Cộng vế theo vế ta được :

\(3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2\left(x+y+z+xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge12\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\left(đpcm\right)\)

Bài 2 :

Ta có :

\(2\left(a^4+b^4\right)\ge ab^3+a^3b+2a^2b^2\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+a^4+b^4-ab^3-a^3b-2a^2b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^4-a^3b-ab^3+b^4\right)+\left(a^4-2a^2b^2+b^4\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)+\left(a^2-b^2\right)^2\ge0\)