Ôn tập cuối năm phần số học

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
trần trác tuyền

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z+2=xyz . Chứng minh rằng:

x+y+z+6\(\ge\)2(\(\sqrt{yz}+\sqrt{zx}+\sqrt{xy}\))

tthnew
2 tháng 4 2020 lúc 10:27

Đặt \(\sqrt{x}=a;\sqrt{y}=b;\sqrt{z}=c\left(a;b;c>0\right)\)\(p=a+b+c;q=ab+bc+ca;r=abc\)

Thì \(a^2+b^2+c^2+2=a^2b^2c^2\Leftrightarrow p^2-4q+2=r^2-2q\)

Cần chứng minh: \(a^2+b^2+c^2+6\ge2\left(ab+bc+ca\right)\Leftrightarrow p^2-2q+6\ge2q\)

Nếu \(q\le6\): Có \(p^2\ge3q\) nên ta chứng minh \(q+6\ge2q\Leftrightarrow q\le6\) (đúng)

Nếu \(q>6\) mình chưa nghĩ ra.

@Akai Haruma cô có cách nào khác hoặc cách nào cho trường hợp q > 6 không cô?

Khách vãng lai đã xóa
Nguyễn Việt Lâm
2 tháng 4 2020 lúc 15:26

\(x+y+z+2=xyz\)

\(\Leftrightarrow2x+2y+2z+xy+yz+zx+3=\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)\left(z+1\right)+\left(z+1\right)\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=1\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}=2\)

\(\Rightarrow2=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\ge\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2}{x+y+z+3}\)

\(\Leftrightarrow2x+2y+2z+6\ge\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2x+2y+2z+6\ge x+y+z+2\sqrt{xy}+2\sqrt{yz}+2\sqrt{zx}\)

\(\Leftrightarrow x+y+z+6\ge2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=2\)

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
ha thi thuy
Xem chi tiết
Mai Diễm My
Xem chi tiết
Lông_Xg
Xem chi tiết
Minh Hoàng Nguyễn
Xem chi tiết
The Godlin
Xem chi tiết
Hoàng Nga
Xem chi tiết
Anh Hoàng
Xem chi tiết
Nấm Chanel
Xem chi tiết
Vương Quốc Anh
Xem chi tiết