Question

bài 1: cho hình bình hành ABCD,gọi E,F lần lượt là trung điểm của AB,CD. gọi M là giao điểm của AF và DE , N là giao điểm của BF và CE ,C/m :

a) tứ giác EMFN là hình bình hành

b) AC,EF ,MN đồng quy

bài 2: hình bình hành ABCD trên BD lấy 2 điểm E,F sao cho BE=DF , và F nằm giữa D,E

c/m : AE//CF

Answer 1

Bài 1:

Hình:

Giải:

Xét tứ giác AECF, có:

\(\left\{{}\begin{matrix}AE=CF=\dfrac{1}{2}AB\\AE//CF\end{matrix}\right.\)

Suy ra tứ giác AECF là hình bình hành

\(\Rightarrow EC//AF\Leftrightarrow EN//MF\left(1\right)\)

Chứng minh tương tự với tứ giác BEDF, ta được:

Tứ giác BEDF là hình bình hành

\(\Rightarrow ED//BF\Leftrightarrow EM//NF\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => Tứ giác EMFN là hình bình hành (có hai cặp cạnh đối song song)

b) Ta có: EMFN là hình bình hành (câu a)

=> EF cắt MN tại O (giao điểm hai đường chéo) (3)

Lại có: AECF là hình bình hành (Chứng minh trên)

=> EF cắt AC tại O (giao điểm hai đường chéo) (4)

Từ (3) và (4) => AC, EF, MN đồng quy

Vậy ...

Bài 2:

Hình:

Giải:

Xét tam giác ADF và tam giác CBE, có:

\(AD=BC\) (ABCD là hình bình hành)

\(\widehat{ADF}=\widehat{CBE}\) (AD // BC)

\(DF=BE\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta ADF=\Delta CBE\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow AF=CE\) (Hai cạnh tương ứng) (1)

Và \(\widehat{AFD}=\widehat{CEB}\) (Hai góc tương ứng)

\(\Rightarrow\widehat{AFE}=\widehat{CEF}\) (Góc ngoài tam giác)

\(\Rightarrow AF//CE\) (Vì có hai góc so le trong bằng nhau) (2)

Từ (1) và (2) => Tứ giác AECF là hình bình hành

\(\Rightarrow AE//CF\)

Vậy ...