Question

Bài 1 Cho a,b,c là các số không âm thỏa a+b+c=1 chứng minh b+c\(\ge\) 16abc

Bài 2 Cho các số dương a,b,c,d thỏa a+b+c+d=1 chứng minh \(\dfrac{1}{a}\)+\(\dfrac{1}{b}\)+\(\dfrac{4}{c}\)+\(\dfrac{16}{d}\ge64\)

Answer 1

Bài 1:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(1=\left(a+b+c\right)^2=\left[a+\left(b+c\right)\right]^2\ge4a\left(b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow b+c\ge4a\left(b+c\right)^2\). Và \(\left(b+c\right)^2\ge4bc\)

\(\Rightarrow b+c\ge4a\left(b+c\right)^2\ge4a\cdot4bc=16abc\)

Bài 2:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:

\(VT=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{4}{c}+\dfrac{16}{d}=\dfrac{1^2}{a}+\dfrac{1^2}{b}+\dfrac{2^2}{c}+\dfrac{4^2}{d}\)

\(\ge\dfrac{\left(1+1+2+4\right)^2}{a+b+c+d}=\dfrac{8^2}{a+b+c+d}=64=VP\)

Answer 2

Bài 1 :Áp dụng Bất Đẳng Thức (x+y)² ≥ 4xy cho hai số không âm có
1 = (a + b+ c)² ≥ 4a(b + c)
--> b + c ≥ 4a(b + c)²
Mà (b + c)² ≥ 4bc
Vậy b + c ≥ 16abc.

Bài 2 bạn Ace Legona làm ròi mình ko làm lại

Chúc bạn học tốt

Answer 3

Bài 2 bạn Ace Legona làm rất hay nhưng mk có cách khác, bạn tham khảo:

Áp dụng BĐT \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) với x, y là số dương

Ta được: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)

=> \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{4}{c}\ge\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{4}{c}\ge\dfrac{4.4}{a+b+c}=\dfrac{16}{a+b+c}\)

=> \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{4}{c}+\dfrac{16}{d}\ge\dfrac{16}{a+b+c}+\dfrac{16}{d}\ge\dfrac{4.16}{a+b+c+d}=\dfrac{64}{1}=64\)

=> \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{4}{c}+\dfrac{16}{d}\ge64\left(đpcm\right)\)