Question

Bài 1. Cho a, b, c \(\ge\) 0 và \(a+b+c=3\). Chứng minh:
a, \(a^3+b^3+c^3\ge3\)
b, \(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\le3\)
c, \(a^9+b^9+c^9\ge a^3+b^3+c^3\)
d, \(\sqrt[5]{a}+\sqrt[5]{b}+\sqrt[5]{c}\le3\)

Answer 1

\(a^3+1+1\ge3a\); \(b^3+1+1\ge3b\); \(c^3+1+1\ge3c\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+6\ge3\left(a+b+c\right)=9\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\)

b/ Hoàn toàn tương tự:

\(a+1+1\ge3\sqrt[3]{a}\) ; \(b+1+1\ge3\sqrt[3]{b}\); \(c+1+1\ge3\sqrt[3]{c}\)

Cộng vế với vế ta có đpcm

c/ Vẫn như trên:

\(a^9+1+1\ge3a^3\) ; \(b^9+2\ge3b^3\); \(c^9+2\ge3c^3\)

\(\Rightarrow a^9+b^9+c^9+6\ge3\left(a^3+b^3+c^3\right)=a^3+b^3+c^3+2\left(a^3+b^3+c^3\right)\)

Mà \(a^3+b^3+c^3\ge3\) từ chứng minh câu b

\(\Rightarrow a^9+b^9+b^9+6\ge a^3+b^3+c^3+2.3\)

d/Vẫn 1 kiểu cũ:

\(a+1+1+1+1\ge5\sqrt[5]{a}\) ; \(b+4\ge5\sqrt[5]{b}\); \(c+4\ge5\sqrt[5]{c}\)

Cộng lại:

\(a+b+c+12\ge5\left(\sqrt[5]{a}+\sqrt[5]{c}+\sqrt[5]{c}\right)\)

\(\Leftrightarrow3+12\ge5\left(\sqrt[5]{a}+\sqrt[5]{b}+\sqrt[5]{c}\right)\)