Question

1. Xác định hệ số a,b để đa thức x⁴ + 1 chia hết cho đa thức x² + ax + b

2. Cho tam giác ABC có \(\widehat{B}\) = 60 độ, BC = a, AB = c. Hình chữ nhật MNPQ có M thuộc AB, N thuộc AC; P,Q thuộc BC. Tìm vị trí của M trên AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó

Answer 1

1/ Ta có:

\(x^4+1=\left(x^2+ax+b\right)\left(x^2-ax+a^2-b\right)+\left(2ab-a^3\right)x+1-a^2b+b^2\)

Để \(\left(x^4+1\right)⋮\left(x^2+ax+b\right)\) thì

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2ab-a^3=0\\1-a^2b+b^2=0\end{matrix}\right.\) dễ thấy \(a=0\) không phải là nghiệm của hệ nên

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2b-a^2=0\\1-a^2b+b^2=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=\dfrac{a^2}{2}\\1-\dfrac{a^4}{2}+\dfrac{a^4}{4}=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=1\\a=\pm\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)