Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
nguyen thi thanh huyen

1. vs a.b. là các số dương t/m đk a+b+c+ab+ac+bc =6abc. c/m :\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)\(\ge\) 3

2. vs a,b,c là các số dương tmđk a+b+c=2. tìm max

Q= \(\sqrt{2a+bc}+\sqrt{2b+ac}+\sqrt{2c+ab}\)

3. vs hai số thực không âm a,b tm \(a^2+b^2=4\) tìm max bt

M=\(\frac{ab}{a+b+2}\)

4.cho các số thực a,b,c thay đổi luôn luôn tm \(a\ge1,b\ge1,c\ge1\) và ab+bc+ca=9. yimf min và mã bt:

P = \(a^2+b^2+c^2\)

5. tìm min bt P= \(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}+2\sqrt{x}\)

6. cho bt: P= \(a^4+b^4-ab\) vs a,b là các số thực tm \(a^2+b^2+ab=3\) . tìm min vad max

TẠI HẠ XIN ĐƯỢC CHỈ GIÁO, THỈNH CÁC THÍ CHỦ MỞ MANG TẦM MẮT!!!!!!!!!!!!!!!!!

( dạng này khó quá ta làm không nổi)

Nguyễn Việt Lâm
22 tháng 2 2020 lúc 22:18

5.

ĐKXĐ: \(0\le x\le1\)

\(P=\sqrt{1-x}+\sqrt{x}+\sqrt{1+x}+\sqrt{x}\)

\(P\ge\sqrt{1-x+x}+\sqrt{1+x+x}=1+\sqrt{1+2x}\ge2\)

\(\Rightarrow P_{min}=2\) khi \(x=0\)

6.

\(3=a^2+b^2+ab\ge2ab+ab=3ab\Rightarrow ab\le1\)

\(3=a^2+b^2+ab\ge-2ab+ab=-ab\Rightarrow ab\ge-3\)

\(\Rightarrow-3\le ab\le1\)

\(a^2+b^2+ab=3\Rightarrow a^2+b^2=3-ab\)

Ta có:

\(P=\left(a^2+b^2\right)^2-2a^2b^2-ab\)

\(P=\left(3-ab\right)^2-2a^2b^2-ab=-a^2b^2-7ab+9\)

Đặt \(ab=x\Rightarrow-3\le x\le1\)

\(P=-x^2-7x+9=21-\left(x+3\right)\left(x+4\right)\le21\)

\(\Rightarrow P_{max}=21\) khi \(x=-3\) hay \(\left(a;b\right)=\left(-\sqrt{3};\sqrt{3}\right)\) và hoán vị

\(P=-x^2-7x+9=1+\left(1-x\right)\left(x+8\right)\ge1\)

\(\Rightarrow P_{min}=1\) khi \(x=1\) hay \(a=b=1\)

Khách vãng lai đã xóa
Nguyễn Việt Lâm
22 tháng 2 2020 lúc 21:50

1. \(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=6\)

Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z+xy+yz+zx=6\)

\(\Leftrightarrow x+y+z+\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2\ge6\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+3\left(x+y+z\right)-18\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z+6\right)\left(x+y+z-3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow x+y+z\ge3\)

Vậy \(P=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2\ge\frac{1}{3}.3^2=3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\) hay \(a=b=c=1\)

2. Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:

\(Q^2\le3\left(2a+bc+2b+ac+2c+ab\right)\)

\(Q^2\le6\left(a+b+c\right)+3\left(ab+bc+ca\right)\)

\(Q^2\le6\left(a+b+c\right)+\left(a+b+c\right)^2=16\)

\(\Rightarrow Q\le4\Rightarrow Q_{max}=4\) khi \(a=b=c=\frac{2}{3}\)

Khách vãng lai đã xóa
Nguyễn Việt Lâm
22 tháng 2 2020 lúc 22:03

3.

Nhận thấy với a hoặc b bằng 0 thì \(M=0\), với \(ab\ne0\):

\(\frac{1}{M}=\frac{a+b+2}{ab}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{ab}\ge\frac{4}{a+b}+\frac{4}{a^2+b^2}\ge\frac{4}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}+\frac{4}{a^2+b^2}=\sqrt{2}+1\)

\(\Rightarrow M\le\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\sqrt{2}\)

4. \(P=a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca=9\)

\(\Rightarrow P_{min}=9\) khi \(a=b=c=\sqrt{3}\)

Mặt khác, do \(a;b;c\ge1\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow ab+1\ge a+b\)

Tương tự: \(bc+1\ge b+c\) ; \(ca+1\ge c+a\)

Cộng vế với vế: \(ab+bc+ca+3\ge2\left(a+b+c\right)\Rightarrow a+b+c\le6\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\le36\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le36-2\left(ab+bc+ca\right)=18\)

\(\Rightarrow P_{max}=18\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1;1;4\right)\) và hoán vị

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Mai Tiến Đỗ
Xem chi tiết
Tống Cao Sơn
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết
Nguyễn Anh Kim Hân
Xem chi tiết
Văn Thắng Hồ
Xem chi tiết
Phác Chí Mẫn
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Hằng
Xem chi tiết
Nguyễn Bùi Đại Hiệp
Xem chi tiết
Bách Bách
Xem chi tiết