Question

1) Cho pt \(x^2-2x-5=0\). Gọi x1, x2 là ngh của pt, hãy tìm 1 pt bậc 2 có hệ số nguyên nhận \(u=\dfrac{x_1}{1-x_2};v=\dfrac{x_2}{1-x_1}\) là nghiệm?

2) Tìm 2 số tự nhiên chẵn liên tiếp biết chúng là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền là \(2\sqrt{5}\)

Answer 1

Bài 1:

\(\Delta'=6>0\) nên pt \(x^2-2x-5=0\) luôn có 2 nghiệm $x_1,x_2$ phân biệt. Áp dụng định lý Vi-et ta có: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2\\ x_1x_2=-5\end{matrix}\right.\)

Do đó:

\(u+v=\frac{x_1}{1-x_2}+\frac{x_2}{1-x_1}=\frac{x_1(1-x_1)+x_2(1-x_2)}{(1-x_2)(1-x_1)}\)

\(=\frac{(x_1+x_2)-(x_1+x_2)^2+2x_1x_2}{1-(x_1+x_2)+x_1x_2}=\frac{2-2^2+2(-5)}{1-2+(-5)}=2\)

Và:

\(uv=\frac{x_1x_2}{(1-x_2)(1-x_1)}=\frac{x_1x_2}{1-(x_1+x_2)+x_1x_2}=\frac{-5}{1-2+(-5)}=\frac{5}{6}\)

Theo định lý Vi-et đảo, $u,v$ là nghiệm của PT:

\(X^2-2X+\frac{5}{6}=0\)

\(\Leftrightarrow 6X^2-12X+5=0\) (đây chính là pt cần tìm)

Answer 2

Bài 2:

Gọi hai số tự nhiên chẵn liên tiếp là $a$ và $a+2$ ($a\in\mathbb{N}^*$)

Áp dụng định lý Pitago:

\(a+(a+2)^2=(2\sqrt{5})^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+a^2+4a+4=20\)

\(\Leftrightarrow a^2+2a-8=0\)

\(\Leftrightarrow (a-2)(a+4)=0\Rightarrow a=2\) (do $a\in\mathbb{N}^*$)

Vậy 2 số tự nhiên chẵn liên tiếp là $a=2$ và $a+2=4$